Seja S o subespaço de P2(R) consistindo de todos os polinômios da forma a x^2+b x+2 a+3 b. Encontre uma base para S.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base para o subespaço de , que é o conjunto de todos os polinômios da forma . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e bases. Vamos precisar entender como expressar os polinômios em termos de vetores e verificar se esses vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o polinômio a x^2 + b x + 2a + 3b = a(x^2 + 2) + b(x + 3) de uma forma que destaque os coeficientes de e . Podemos fazer isso agrupando termos semelhantes:
Aqui, vemos que cada polinômio em pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios e .

Passo 3

Agora, vamos entender que S = a(x^2 + 2) + b(x + 3) ,|, a, b in R é gerado pelas combinações lineares desses dois polinômios:
Isso significa que qualquer elemento de pode ser obtido somando múltiplos escalares de e .

Passo 4

Para termos certeza de que c1(x^2 + 2) + c2(x + 3) = 0 implies c1 = 0 e c2 = 0 é uma base, precisamos verificar se esses polinômios são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que resulta no zero é quando todos os coeficientes são zero:
Não existe nenhum ou diferente de zero que satisfaça essa equação, então os polinômios são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para é .

Exercícios relacionados

Mostre que (Z,+)=lang<=-1rang<=.
8
Mostre que os polinômios 1, x+1 e -1+x^2 formam uma base para o espaço P2(R). Em seguida, escreva o polinômio 3 x^2-x+2 como combinação linear desses elementos.
Dadas A=[ll1 & 7 2 & 6], B=[ll2 & 1 4 & 3] e I a matriz identidade de ordem 2 .
(b) Se existir a matriz X, tal que 2(A-B+X)=3(X-A)
Seja G um grupo e a, b in G. Encontre uma soluçaõ para a equação x a=b e mostre que essa solução é única.