Seja
o subespaço de
consistindo de todos os polinômios da forma
. Encontre uma base para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base para o subespaço
de
, que é o conjunto de todos os polinômios da forma
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e bases. Vamos precisar entender como expressar os polinômios em termos de vetores e verificar se esses vetores são linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o polinômio
de uma forma que destaque os coeficientes de
e
. Podemos fazer isso agrupando termos semelhantes:
Aqui, vemos que cada polinômio em
pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios
e
.
Passo 3
Agora, vamos entender que
é gerado pelas combinações lineares desses dois polinômios:
Isso significa que qualquer elemento de
pode ser obtido somando múltiplos escalares de
e
.
Passo 4
Para termos certeza de que
é uma base, precisamos verificar se esses polinômios são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que resulta no zero é quando todos os coeficientes são zero:
Não existe nenhum
ou
diferente de zero que satisfaça essa equação, então os polinômios são linearmente independentes.
Resposta
Uma base para
é
.
Exercícios relacionados
Mostre que
.
8
Mostre que os polinômios e
formam uma base para o espaço
. Em seguida, escreva o polinômio
como combinação linear desses elementos.
Mostre que os polinômios
Dadas
e
a matriz identidade de ordem 2 .
(b) Se existir a matriz , tal que
(b) Se existir a matriz
Seja
um grupo e
. Encontre uma soluçaõ para a equação
e mostre que essa solução é única.