(b) Mostre que o conjunto de retas em
com coeficiente angular 1 é um subgrupo de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que o conjunto de todas as retas no plano
que têm coeficiente angular igual a 1 forma um subgrupo de um grupo
. Aqui, estamos lidando com conceitos de Álgebra Linear e Teoria de Grupos. Para resolver isso, precisamos entender o que é um subgrupo e como verificar se um conjunto satisfaz os critérios para ser um subgrupo de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subgrupo. Um subgrupo é um conjunto que, além de pertencer ao grupo maior
, também forma um grupo por si só com a mesma operação do grupo
. Isso significa que o conjunto precisa satisfazer três propriedades:
- Fechamento: Se você pegar dois elementos quaisquer do conjunto e combinar eles pela operação do grupo, o resultado também precisa estar no conjunto.
- Elemento Neutro: O conjunto precisa conter o elemento neutro do grupo
. - Inversos: Para todo elemento no conjunto, deve existir o seu inverso também no conjunto.
Vamos aplicar essas propriedades ao nosso conjunto de retas com coeficiente angular 1.
Passo 3
Primeiro, vamos descrever matematicamente as retas com coeficiente angular 1. No plano
, uma reta com coeficiente angular 1 pode ser escrita na forma
, onde
é o coeficiente linear, ou seja, o ponto onde a reta intercepta o eixo
.
Passo 4
Agora, vamos considerar a operação de grupo que está sendo usada em
. Geralmente, quando falamos de conjuntos de funções ou retas, a operação pode ser a adição de funções. Então, vamos supor que a operação em
seja a adição de duas retas, ou seja, somar as respectivas equações das retas elemento a elemento.
Passo 5
Vamos verificar a propriedade do elemento neutro. No contexto da adição de funções, o elemento neutro é a função que, quando adicionada a qualquer outra função do conjunto, não altera a outra função. Para retas, isso seria a reta
, ou seja,
. Então, nosso conjunto contém o elemento neutro, já que
está incluído nas retas com coeficiente angular 1.
Passo 6
Agora, vamos verificar a fechamento. Se pegarmos duas retas com coeficiente angular 1, digamos
e
, e somarmos essas duas retas, teremos:
Observe que o coeficiente angular agora é 2, não 1. Isso significa que a soma de duas retas com coeficiente angular 1 não resulta em uma reta com coeficiente angular 1. Portanto, o conjunto não é fechado sob a operação de adição.
Passo 7
Como a propriedade de fechamento não é satisfeita, não precisamos verificar a existência de inversos. Se uma das propriedades não é atendida, o conjunto não pode ser um subgrupo.
Resposta
Então, concluímos que o conjunto de retas em
com coeficiente angular 1 não é um subgrupo de
, já que ele não satisfaz a propriedade de fechamento.
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é um subgrupo do grupo simétrico
.
Calcule todos os subgrupos dos seguintes grupos:
(a) ;
(a)
8
Mostre que os polinômios e
formam uma base para o espaço
. Em seguida, escreva o polinômio
como combinação linear desses elementos.
Mostre que os polinômios
Mostre que
.