(b) Mostre que o conjunto de retas em R^2 com coeficiente angular 1 é um subgrupo de G.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que o conjunto de todas as retas no plano R^2 que têm coeficiente angular igual a 1 forma um subgrupo de um grupo G. Aqui, estamos lidando com conceitos de Álgebra Linear e Teoria de Grupos. Para resolver isso, precisamos entender o que é um subgrupo e como verificar se um conjunto satisfaz os critérios para ser um subgrupo de G.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subgrupo. Um subgrupo é um conjunto que, além de pertencer ao grupo maior G, também forma um grupo por si só com a mesma operação do grupo G. Isso significa que o conjunto precisa satisfazer três propriedades:
  1. Fechamento: Se você pegar dois elementos quaisquer do conjunto e combinar eles pela operação do grupo, o resultado também precisa estar no conjunto.
  2. Elemento Neutro: O conjunto precisa conter o elemento neutro do grupo G.
  3. Inversos: Para todo elemento no conjunto, deve existir o seu inverso também no conjunto.
Vamos aplicar essas propriedades ao nosso conjunto de retas com coeficiente angular 1.

Passo 3

Primeiro, vamos descrever matematicamente as retas com coeficiente angular 1. No plano R^2, uma reta com coeficiente angular 1 pode ser escrita na forma y = x + b, onde b é o coeficiente linear, ou seja, o ponto onde a reta intercepta o eixo y.

Passo 4

Agora, vamos considerar a operação de grupo que está sendo usada em G. Geralmente, quando falamos de conjuntos de funções ou retas, a operação pode ser a adição de funções. Então, vamos supor que a operação em G seja a adição de duas retas, ou seja, somar as respectivas equações das retas elemento a elemento.

Passo 5

Vamos verificar a propriedade do elemento neutro. No contexto da adição de funções, o elemento neutro é a função que, quando adicionada a qualquer outra função do conjunto, não altera a outra função. Para retas, isso seria a reta y = x + 0, ou seja, y = x. Então, nosso conjunto contém o elemento neutro, já que b = 0 está incluído nas retas com coeficiente angular 1.

Passo 6

Agora, vamos verificar a fechamento. Se pegarmos duas retas com coeficiente angular 1, digamos y = x + b1 e y = x + b2, e somarmos essas duas retas, teremos:
y = (x + b1) + (x + b2) = 2x + (b1 + b2)
Observe que o coeficiente angular agora é 2, não 1. Isso significa que a soma de duas retas com coeficiente angular 1 não resulta em uma reta com coeficiente angular 1. Portanto, o conjunto não é fechado sob a operação de adição.

Passo 7

Como a propriedade de fechamento não é satisfeita, não precisamos verificar a existência de inversos. Se uma das propriedades não é atendida, o conjunto não pode ser um subgrupo.

Resposta

Então, concluímos que o conjunto de retas em R^2 com coeficiente angular 1 não é um subgrupo de G, já que ele não satisfaz a propriedade de fechamento.

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