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Mostre que os polinômios e formam uma base para o espaço . Em seguida, escreva o polinômio como combinação linear desses elementos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que os polinômios , e formam uma base para o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para isso, vamos precisar verificar se esses polinômios são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço . Depois, vamos expressar o polinômio como uma combinação linear desses elementos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser uma base. Uma base de um espaço vetorial precisa satisfazer duas condições: os vetores (ou polinômios, no nosso caso) devem ser linearmente independentes e devem gerar todo o espaço. No nosso caso, tem dimensão 3, então precisamos de três polinômios que atendam a essas condições.
Passo 3
Vamos verificar a linearidade. Consideramos uma combinação linear igual a zero:
Isso se expande para:
Organizando por potências de :
Para essa igualdade valer para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
Resolvendo o sistema, temos , e, portanto, . Como a única solução é trivial, os polinômios são linearmente independentes.
Passo 4
Como temos três polinômios linearmente independentes no espaço , que também tem dimensão 3, concluímos que eles formam uma base para esse espaço.
Passo 5
Agora, vamos escrever o polinômio 3x^2 - x + 2 = a cdot 1 + b cdot (x + 1) + c cdot (-1 + x^2) como uma combinação linear dos polinômios da base:
3x^2 - x + 2 = a + b x + b - c + c x^2
Expandindo:
c x^2 + b x + (a + b - c) = 3x^2 - x + 2
Organizando por potências de c = 3 b = -1 a + b - c = 2 :
a - 1 - 3 = 2 Rightarrow a = 6
Igualando os coeficientes:
Substituindo e na terceira equação:
Resposta
O polinômio 3x^2 - x + 2 = 6 cdot 1 -1 cdot (x + 1) + 3 cdot (-1 + x^2) pode ser escrito como: