Oi! Vamos resolver o exercício que pede para mostrarmos que o centro de , denotado por , é igual apenas ao conjunto que contém a identidade, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de Teoria dos Grupos, especificamente sobre o que é o centro de um grupo e as propriedades do grupo simétrico .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o centro de um grupo. O centro de um grupo é o conjunto de todos os elementos de que comutam com todos os elementos de . Em outras palavras, .
Passo 3
Agora, vamos considerar o grupo . Este é o grupo das permutações dos três elementos, ou seja, todas as maneiras de reorganizar três objetos. tem 6 elementos:
A identidade (que não muda nada),
Duas transposições (trocas simples): , , ,
Três ciclos de 3 elementos: , .
Passo 4
Para encontrar o centro , precisamos verificar quais desses elementos comutam com todos os outros elementos de . Vamos testar cada elemento:
Identidade :
Por definição, comuta com todos os elementos, então .
Transposições , , :
Vamos verificar, por exemplo, se comuta com :
Como , não comuta com , então não está no centro.
O mesmo ocorre para e ; eles também não comutam com outros elementos.
Ciclos de 3 elementos , :
Vamos verificar, por exemplo, se comuta com :
Como , não comuta com , então não está no centro.
O mesmo ocorre para ; ele também não comuta com outros elementos.
Resposta
Portanto, o único elemento que comuta com todos os elementos de é a identidade. Assim, .