Seja G um grupo e a, b in G. Encontre uma soluçaõ para a equação x a=b e mostre que essa solução é única.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para resolver a equação em um grupo . Um grupo é uma estrutura matemática que tem uma operação (que aqui chamamos de multiplicação) e que satisfaz certas propriedades, como existir um elemento neutro e inversos para cada elemento. Para resolver essa equação, vamos precisar usar o conceito de elemento inverso no grupo.

Passo 2

Primeiro, queremos isolar o na equação . Para isso, vamos “desfazer” a multiplicação por . No mundo dos grupos, para “desfazer” uma multiplicação, usamos o inverso de um elemento.

Passo 3

Sabemos que todo elemento a cdot a^-1 = a^-1 cdot a = e em um grupo tem um inverso, que chamamos de , tal que:
onde é o elemento neutro do grupo.

Passo 4

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação x cdot a cdot a^-1 = b cdot a^-1 pelo inverso de , , à direita:

Passo 5

Simplificando o lado esquerdo, como x cdot e = b cdot a^-1 , temos:
x = b cdot a^-1
E sabemos que qualquer elemento multiplicado pelo elemento neutro é ele mesmo, então:

Passo 6

Então, encontramos que a solução para é .

Passo 7

Agora, vamos mostrar que essa solução é única. Suponha que exista outro elemento y cdot a cdot a^-1 = b cdot a^-1 implies y = b cdot a^-1 em tal que . Seguindo os mesmos passos:
Multiplicamos ambos os lados por :
Portanto, é igual a , o que prova que a solução é única.

Resposta

A solução para a equação em um grupo é e essa solução é única.

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