Seja
um grupo e
. Encontre uma soluçaõ para a equação
e mostre que essa solução é única.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para resolver a equação
em um grupo
. Um grupo é uma estrutura matemática que tem uma operação (que aqui chamamos de multiplicação) e que satisfaz certas propriedades, como existir um elemento neutro e inversos para cada elemento. Para resolver essa equação, vamos precisar usar o conceito de elemento inverso no grupo.
Passo 2
Primeiro, queremos isolar o
na equação
. Para isso, vamos “desfazer” a multiplicação por
. No mundo dos grupos, para “desfazer” uma multiplicação, usamos o inverso de um elemento.
Passo 3
Sabemos que todo elemento
em um grupo
tem um inverso, que chamamos de
, tal que:
onde
é o elemento neutro do grupo.
Passo 4
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação
pelo inverso de
,
, à direita:
Passo 5
Simplificando o lado esquerdo, como
, temos:
E sabemos que qualquer elemento multiplicado pelo elemento neutro
é ele mesmo, então:
Passo 6
Então, encontramos que a solução para
é
.
Passo 7
Agora, vamos mostrar que essa solução é única. Suponha que exista outro elemento
em
tal que
. Seguindo os mesmos passos:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Portanto,
é igual a
, o que prova que a solução é única.
Resposta
A solução para a equação
em um grupo
é
e essa solução é única.
Exercícios relacionados
Dadas
e
a matriz identidade de ordem 2 .
(b) Se existir a matriz , tal que
(b) Se existir a matriz
Seja
o subespaço de
consistindo de todos os polinômios da forma
. Encontre uma base para
.
Mostre que
.
Considere o grupo linear geral
, onde
ou
.
© Mostre que o conjunto é um subgrupo de
. Este grupo é chamado de grupo linear especial.
© Mostre que o conjunto