Considere o grupo linear geral G Ln(K), onde K=Q, R ou C.
© Mostre que o conjunto S Ln(K)=A in G Ln(K) ; det(A)=1 é um subgrupo de G Ln(K). Este grupo é chamado de grupo linear especial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o conjunto é um subgrupo de . Estamos lidando com grupos lineares, especificamente o grupo linear geral e o grupo linear especial . Para resolver isso, precisamos lembrar o que define um subgrupo e verificar se satisfaz essas condições dentro de .

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é um grupo. Um grupo é um conjunto com uma operação que satisfaz quatro propriedades: fechamento, existência de elemento neutro, existência de inversos e associatividade. No nosso caso, a operação é a multiplicação de matrizes.

Passo 3

Para ser um subgrupo, precisa cumprir as mesmas propriedades que . Vamos verificar cada uma:
  1. Fechamento: Se e estão em , então também deve estar em .
  2. Elemento Neutro: Deve existir uma matriz identidade em .
  3. Inversos: Se está em , então sua inversa também deve estar em .

Passo 4

Fechamento: Vamos mostrar que se det(A cdot B) = det(A) cdot det(B) = 1 cdot 1 = 1 , então .
Sabemos que e . A propriedade dos determinantes diz que:
Então, , o que significa que . Assim, o conjunto é fechado pela multiplicação.

Passo 5

Elemento Neutro: A matriz identidade tem determinante igual a 1, ou seja, . Portanto, . Isso garante que o elemento neutro está presente no conjunto.

Passo 6

Inversos: Se det(A^-1) = 1det(A) = 11 = 1 , então . Queremos mostrar que .
Usamos a propriedade do determinante da inversa:
Portanto, , o que implica que . Assim, todo elemento tem seu inverso no conjunto.

Resposta

Como satisfaz as propriedades de fechamento, possui a matriz identidade e todo elemento tem inverso dentro do conjunto, concluímos que é de fato um subgrupo de . Portanto, é o grupo linear especial.

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