Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o conjunto é um subgrupo de . Estamos lidando com grupos lineares, especificamente o grupo linear geral e o grupo linear especial. Para resolver isso, precisamos lembrar o que define um subgrupo e verificar se satisfaz essas condições dentro de .
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é um grupo. Um grupo é um conjunto com uma operação que satisfaz quatro propriedades: fechamento, existência de elemento neutro, existência de inversos e associatividade. No nosso caso, a operação é a multiplicação de matrizes.
Passo 3
Para ser um subgrupo, precisa cumprir as mesmas propriedades que . Vamos verificar cada uma:
Fechamento: Se e estão em , então também deve estar em .
Elemento Neutro: Deve existir uma matriz identidade em .
Inversos: Se está em , então sua inversa também deve estar em .
Passo 4
Fechamento: Vamos mostrar que se , então .
Sabemos que e . A propriedade dos determinantes diz que:
Então, , o que significa que . Assim, o conjunto é fechado pela multiplicação.
Passo 5
Elemento Neutro: A matriz identidade tem determinante igual a 1, ou seja, . Portanto, . Isso garante que o elemento neutro está presente no conjunto.
Passo 6
Inversos: Se , então . Queremos mostrar que .
Usamos a propriedade do determinante da inversa:
Portanto, , o que implica que . Assim, todo elemento tem seu inverso no conjunto.
Resposta
Como satisfaz as propriedades de fechamento, possui a matriz identidade e todo elemento tem inverso dentro do conjunto, concluímos que é de fato um subgrupo de . Portanto, é o grupo linear especial.