Em um motor de combustão interna, a manivela
possui rotação constante de 1883 [rpm], no sentido horário. Para a posição
, determinar a aceleração angular da biela BD. Considere RAB
[m] e RBD
[m].
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e o que precisamos para resolver. Temos um motor de combustão interna onde a manivela $ AB $ está girando com uma rotação constante de 1883 rotações por minuto (rpm) no sentido horário. Queremos descobrir qual é a aceleração angular da biela $ BD $ quando a posição
é 40 graus. Para isso, vamos precisar dos comprimentos das manivelas: $ R_{AB} = 0,0766 $ metros e $ R_{BD} = 0,192 $ metros. O conteúdo envolvido aqui é cinemática rotacional, onde vamos usar conceitos de velocidade e aceleração angular.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a rotação da manivela $ AB $ de rotações por minuto para radians por segundo, porque assim fica mais fácil trabalhar com as fórmulas de cinemática rotacional. Sabemos que:
Então,
Como a rotação é constante, a aceleração angular da manivela $ AB $ é zero.
Passo 3
Agora, vamos analisar a relação entre as duas manivelas $ AB $ e $ BD $. Como $ AB $ está girando constantemente, a velocidade angular da biela $ BD $ dependerá da posição $ \theta $ e das proporções dos comprimentos $ R_{AB} $ e $ R_{BD} $. Para encontrar a aceleração angular de $ BD $, precisamos usar a geometria do sistema e as relações entre as velocidades angulares.
Passo 4
Vamos considerar que a biela $ BD $ forma um ângulo $ \theta = 40^\circ $ com a horizontal. A velocidade angular da biela $ BD $ ($ \omega_{BD} $) está relacionada à velocidade angular de $ AB $ ($ \omega_{AB} $) pela relação de proporções dos comprimentos das manivelas:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, para encontrar a aceleração angular da biela $ BD $ ($ \alpha_{BD} $), precisamos derivar a velocidade angular em relação ao tempo. Como $ \omega_{AB} $ é constante e não há variação na rotação de $ AB $, a aceleração angular de $ BD $ dependerá apenas da variação do ângulo $ \theta $.
A fórmula para a aceleração angular é:
Como $ \omega_{BD} $ depende de $ \theta $ e $ \theta $ está mudando com o tempo devido à rotação de $ AB $, usamos a relação:
Substituindo os valores:
O sinal negativo indica que a aceleração está no sentido oposto ao da rotação.
Resposta
A aceleração angular da biela $ BD $ na posição $ \theta = 40^\circ $ é aproximadamente $ -9936 , rad/s^2 $.