Em um motor de combustão interna, a manivela A B possui rotação constante de 1842,5 [rpm], no sentido horário. Para a posição theta=40^circ, determinar a velocidade angular da biela BD. Considere RAB =0,0775 [m] e RBD =0,204 [m].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um motor de combustão interna onde a manivela AB está girando a uma velocidade constante de 1842,5 rotações por minuto (rpm) no sentido horário. No instante em que a posição theta = 40^circ, queremos descobrir qual é a velocidade angular da biela BD. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática de mecanismos, especialmente aqueles que envolvem rotação e transferência de movimento entre componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade de rotação da manivela de rpm para radianos por segundo, porque isso facilita os cálculos com fórmulas matemáticas. A fórmula para converter rpm para rad/s é:
omega = rpm times 2pi60
Substituindo os valores:
omegaAB = 1842,5 times 2pi60 approx 193 , rad/s

Passo 3

Agora, entendemos que a manivela AB está girando com uma velocidade angular de aproximadamente 193 , rad/s. A posição da manivela está a 40^circ, o que nos ajuda a traçar o triângulo formado pelas bielas AB e BD.

Passo 4

Vamos considerar o triângulo formado por AB, BD e AD. Sabemos os comprimentos dessas bielas:
RAB = 0,0775 , m e RBD = 0,204 , m
Com theta = 40^circ, vamos usar a regra dos cossenos para encontrar o ângulo entre as bielas. A regra dos cossenos diz:
AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 cdot AB cdot BD cdot cos(theta)
Substituindo os valores:
AD^2 = (0,0775)^2 + (0,204)^2 - 2 cdot 0,0775 cdot 0,204 cdot cos(40^circ)
Calculando:
AD^2 approx 0,00600625 + 0,041616 - 2 cdot 0,0775 cdot 0,204 cdot 0,7660 approx 0,00600625 + 0,041616 - 0,02405 approx 0,02357225
Então,
AD approx raiz0,02357225 approx 0,1535 , m

Passo 5

Agora que temos o comprimento de AD, podemos usar a relação das velocidades angulares entre AB e BD. A relação entre as velocidades angulares em um mecanismo de bielas pode ser dada por:
omegaBD = omegaAB cdot RABRBD cdot sin(theta)sin(phi)
Onde phi é o ângulo que BD faz com AD. Para encontrar phi, usamos a lei dos senos no triângulo ABD:
sin(theta)BD = sin(phi)AB
Rearranjando:
sin(phi) = AB cdot sin(theta)BD = 0,0775 cdot sin(40^circ)0,204 approx 0,0775 cdot 0,64280,204 approx 0,244
Então,
phi approx arcsin(0,244) approx 14,15^circ

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula da velocidade angular:
omegaBD = 193 cdot 0,07750,204 cdot sin(40^circ)sin(14,15^circ)
Calculando cada parte:
0,07750,204 approx 0,38
sin(40^circ)sin(14,15^circ) approx 0,64280,244 approx 2,636
Então,
omegaBD approx 193 cdot 0,38 cdot 2,636 approx 193 cdot 1,002 approx 193,4 , rad/s

Resposta

A velocidade angular da biela BD é aproximadamente 193,4 , rad/s.

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