Em um motor de combustão interna, a manivela AB possui rotação constante de 1913,6 [rpm], no sentido horário. Para a posição theta=40^circ, determinar a aceleração do pistão P. Considere R A B=0,0793[m] e R B D=0,188[m].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um motor de combustão interna onde a manivela AB gira a uma velocidade constante de 1913,6 rotações por minuto (rpm) no sentido horário. Queremos descobrir a aceleração do pistão P quando a posição da manivela está em um ângulo de 40°. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cinemática de mecanismos, especialmente o movimento de um pistão ligado a uma manivela. As informações que temos são os comprimentos da manivela (R_AB = 0,0793 m) e da biela (R_BD = 0,188 m).

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade de rotação de rpm para radianos por segundo, porque isso facilita os cálculos com trigonometria e aceleração angular. A fórmula para converter é:
omega = 2pi N60
Onde $ N $ é a velocidade em rpm. Substituindo os valores:
N

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula para a aceleração do pistão em função do ângulo da manivela. A aceleração $ a $ do pistão pode ser determinada pela seguinte expressão:
a
Onde:
  • $ R $ é o comprimento da manivela (0,0793 m)
  • $ r $ é o comprimento da biela (0,188 m)
  • $ \omega $ é a velocidade angular que calculamos
  • $ \theta $ é o ângulo da manivela (40°)

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula. Primeiro, precisamos converter o ângulo de graus para radianos, pois as funções trigonométricas em cálculos geralmente usam radianos. Sabemos que:
theta = 40° = 40 times pi180 approx 0,698 , rad
Agora, calculamos cada parte da fórmula:
cos(theta) = cos(0,698) approx 0,7660
cos(2theta) = cos(2 times 0,698) = cos(1,396) approx 0,1736
Substituindo esses valores na equação da aceleração:
a = 0,0793 times (200,5)^2 times (0,7660 + 0,07930,188 times 0,1736)

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calculamos $ \omega^2 $:
omega^2
Depois, a fração $ \frac{R}{r} $:
(200,5)^2 approx 40,200,25 , rad^2/s^2
Agora, multiplicamos essa fração pelo $ \cos(2\theta) $:
Rr
Somamos com $ \cos(\theta) $:
0,07930,188 approx 0,4223
Multiplicamos todos os termos:
cos(2theta)

Resposta

A aceleração do pistão P é aproximadamente $ 2,679,22 , m/s^2 $.

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