Um motor quatro cilindros 2,4 L, de dois tempos, que opera em um ciclo Diesel ideal tem a razão de compressão igual a 22 e a razão de corte de 1,8 . Ar na temperatura de 70^circ C e pressão 97 kPa entra nos pistões para ser comprimido. Determine qual a potência que o motor entrega na velocidade de 3500 rpm.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um motor de dois tempos com quatro cilindros e uma cilindrada total de 2,4, L. Esse motor opera em um ciclo Diesel ideal, com uma razão de compressão de 22 e uma razão de corte de 1,8. O ar que entra nos pistões tem uma temperatura de 70^circC e uma pressão de 97, kPa. Precisamos determinar a potência que o motor entrega quando está funcionando a uma velocidade de 3500, rpm.
Para resolver esse problema, vamos precisar entender os conceitos de ciclo Diesel, razão de compressão, razão de corte, e como calcular a potência a partir do trabalho realizado por ciclo e da velocidade do motor.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos. A temperatura de entrada é 70^circC, que em Kelvin é:
T1 = 70 + 273,15 = 343,15, K

Passo 3

A pressão de entrada é 97, kPa, que permanece como está:
P1 = 97, kPa

Passo 4

A cilindrada total do motor é 2,4, L para quatro cilindros, então a cilindrada por cilindro é:
Vtotal = 2,4, L = 2,4 times 10^-3, m^3
Vcil = Vtotal4 = 2,4 times 10^-34 = 6 times 10^-4, m^3

Passo 5

A razão de compressão ( r) é definida como a relação entre o volume máximo ( Vmax) e o volume mínimo ( Vmin):
r = VmaxVmin = 22
Então, podemos expressar o volume máximo em termos do volume mínimo:
Vmax = 22 times Vmin

Passo 6

A razão de corte ( rho) é a relação entre o volume no final da combustão e o volume antes da combustão. No ciclo Diesel, durante a combustão, o volume passa de V2 para V3, onde:
rho = V3V2 = 1,8

Passo 7

Assumindo que o processo de compressão e expansão é adiabático, podemos usar a relação adiabática para processos reais:
(T2T1) = (V1V2)^gamma - 1
Onde gamma é a razão de capacidades térmicas para o ar, que é aproximadamente 1,4.
Primeiro, precisamos encontrar V1 e V2. Sabemos que V1 = Vmax e V2 = Vmin:
Vmax = V1 = 22 times Vmin = 22 times V2

Passo 8

Usando a relação adiabática:
T2343,15 = (22 times V2V2)^1,4 - 1 = 22^0,4
Calculando 22^0,4:
22^0,4 approx 3,47
Então:
T2 = 3,47 times 343,15 approx 1190, K

Passo 9

Agora, durante o processo de combustão no ciclo Diesel, a temperatura aumenta de T2 para T3. Usamos a razão de corte para encontrar V3:
V3 = rho times V2 = 1,8 times V2
Podemos relacionar as temperaturas:
T3T2 = (V2V3)^gamma - 1 = (11,8)^0,4
Calculando (11,8)^0,4:
(11,8)^0,4 approx 0,72
Então:
T3 = 0,72 times 1190 approx 856,8, K

Passo 10

Agora, precisamos calcular o trabalho por ciclo. No ciclo Diesel, o trabalho é a área interna no diagrama P- V. A eficiência térmica do ciclo Diesel é:
eta = 1 - 1r^gamma -1 cdot rho^gamma -1gamma (rho -1)
Mas para encontrar a potência, é mais direto calcular o trabalho por ciclo e multiplicar pelo número de ciclos por segundo.

Passo 11

Primeiro, encontramos o trabalho por ciclo ( W). Para simplificação, usaremos a fórmula:
W = Cv (T3 - T2) + Cp (T2 - T1)
Onde Cv é a capacidade calorífica a volume constante e Cp a capacidade a pressão constante. Para o ar, Cp approx 1005, J/(kg cdot K) e Cv approx 718, J/(kg cdot K).

Passo 12

Precisamos da massa de ar por cilindro. Usamos a equação dos gases ideais:
P V = m R T
Onde R = 287, J/(kg cdot K) para o ar.
Rearranjando:
m = P VR T
Para o estado de entrada ( P1, Vmax, T1):
m = 97 times 10^3 times 22 times V2287 times 343,15
Mas precisamos encontrar V2 em termos de Vcil:
Sabemos que:
Vmax = 22 times V2 = V1 = 6 times 10^-4, m^3
Então:
V2 = Vmax22 = 6 times 10^-422 approx 2,727 times 10^-5, m^3
Agora, calculando a massa:
m = 97 times 10^3 times 22 times 2,727 times 10^-5287 times 343,15 approx 0,684, kg

Passo 13

Agora, calculamos o trabalho por ciclo:
W = Cv (T3 - T2) + Cp (T2 - T1)
Substituindo os valores:
W = 718 times (856,8 - 1190) + 1005 times (1190 - 343,15)
Calculando as diferenças de temperatura:
W = 718 times (-333,2) + 1005 times (846,85)
W = -239,287.6 + 850,694.25 approx 611,406.65, J

Passo 14

Agora, encontramos a potência. Primeiro, calculamos o número de ciclos por segundo por cilindro. O motor é de dois tempos, então a cada rotação completa, cada cilindro realiza um ciclo.
A velocidade do motor é 3500, rpm (rotações por minuto), então em segundos:
n = 350060 approx 58,33, rps
Cada cilindro realiza 58,33 ciclos por segundo.
Então, o trabalho por segundo para um cilindro é:
Pcil = W times n = 611,406.65 times 58,33 approx 35,686.3, W
Como são quatro cilindros:
Ptotal = 35,686.3 times 4 approx 142,745.2, W

Resposta

A potência que o motor entrega é aproximadamente 142.745, W, ou seja, cerca de 142,7, kW.

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