O movimento curvilíneo plano de uma partícula é dado em coordenadas polares por
, onde
está em metros,
está em radianos (medido no sentido trigonométrico a partir do eixo
positivo) e
está em segundos. Determine e esboce os vetores unitários
e
em termos de
e
no tempo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre o movimento de uma partícula num caminho curvo no plano, usando coordenadas polares. O enunciado nos dá as funções de
e
em função do tempo
. Precisamos descobrir como ficam os vetores unitários
e
em termos dos vetores unitários padrão
e
no momento em que
segundos. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas polares e como relacionar esses vetores aos vetores cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como os vetores unitários em coordenadas polares se relacionam com os vetores unitários cartesianas. Em coordenadas polares, temos dois vetores unitários:
-
: aponta na direção do raio, ou seja, na direção em que o vetor está apontando. -
: é perpendicular a e aponta na direção do aumento de .
A relação entre esses vetores polares e os vetores cartesianas
e
é dada por:
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor de
no tempo
segundos usando a função dada no enunciado:
Substituindo
:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Com o valor de
radianos, vamos calcular o cosseno e o seno desse ângulo para substituir nas fórmulas dos vetores unitários:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores nas expressões dos vetores unitários:
Para
:
Para
:
Resposta
No tempo
segundos, os vetores unitários são aproximadamente: