O movimento curvilíneo plano de uma partícula é dado em coordenadas polares por r=t^3 / 3 e theta=4 cos (pi t / 6), onde r está em metros, theta está em radianos (medido no sentido trigonométrico a partir do eixo x positivo) e t está em segundos. Determine e esboce os vetores unitários ir e itheta em termos de i e j no tempo t=2 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre o movimento de uma partícula num caminho curvo no plano, usando coordenadas polares. O enunciado nos dá as funções de r e theta em função do tempo t. Precisamos descobrir como ficam os vetores unitários ir e itheta em termos dos vetores unitários padrão i e j no momento em que t = 2 segundos. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas polares e como relacionar esses vetores aos vetores cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como os vetores unitários em coordenadas polares se relacionam com os vetores unitários cartesianas. Em coordenadas polares, temos dois vetores unitários:
  • ir: aponta na direção do raio, ou seja, na direção em que o vetor r está apontando.
  • itheta: é perpendicular a ir e aponta na direção do aumento de theta.
A relação entre esses vetores polares e os vetores cartesianas i e j é dada por:
ir = cos(theta) , i + sin(theta) , j
itheta = -sin(theta) , i + cos(theta) , j

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor de theta no tempo t = 2 segundos usando a função dada no enunciado:
theta = 4 cos(pi t6)
Substituindo t = 2:
theta = 4 cos(pi times 26) = 4 cos(pi3)
Sabemos que cos(pi3) = 12, então:
theta = 4 times 12 = 2 radianos

Passo 4

Com o valor de theta = 2 radianos, vamos calcular o cosseno e o seno desse ângulo para substituir nas fórmulas dos vetores unitários:
cos(2) approx -0.4161
sin(2) approx 0.9093

Passo 5

Agora, substituímos esses valores nas expressões dos vetores unitários:
Para ir:
ir = cos(2) , i + sin(2) , j approx (-0.4161) , i + (0.9093) , j
Para itheta:
itheta = -sin(2) , i + cos(2) , j approx (-0.9093) , i + (-0.4161) , j

Resposta

No tempo t = 2 segundos, os vetores unitários são aproximadamente:
ir approx -0.4161 , i + 0.9093 , j
itheta approx -0.9093 , i - 0.4161 , j

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