O movimento de uma onda harmônica em uma corda vibrante é, u(x, t)=A cos (k x-omega t+de. Sabendo que a potência instantânea é dada por P=F cdot v, com F=-T partial u(x, t)partial x j e v=partial u(x, t)partial t j, mostre com muito esmero que:
P(x, t)=rho v omega^2 A^2 sin ^2(k x-omega t+de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento de uma onda harmônica em uma corda vibrante, dada por . A matéria envolvida aqui é a mecânica das ondas, especificamente ondas em cordas vibrantes. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a força e a velocidade das partículas da corda, e depois usar a definição de potência instantânea .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de partial upartial x = -A k sin(kx - omega t + de em relação a para encontrar . Isso representa como a posição da corda muda no espaço.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de partial upartial t = A omega sin(kx - omega t + de em relação a para encontrar . Isso mostra como a posição da corda muda no tempo.

Passo 4

Sabemos que a força F = -T partial upartial x j é dada por:
F = T A k sin(kx - omega t + de
Substituindo :
Aqui, é a tensão na corda.

Passo 5

A velocidade v = partial upartial t j = A omega sin(kx - omega t + de é:

Passo 6

Agora, vamos calcular a potência instantânea P = (T A k sin(kx - omega t + de. Como ambas as forças estão na direção P = T A^2 k omega sin^2(kx - omega t + de, o produto escalar simplifica para a multiplicação dos componentes.

Passo 7

Sabemos que a velocidade da onda v = omegak está relacionada com os parâmetros da onda por:
T = rho v^2
E a tensão P = rho v^2 A^2 k omega sin^2(kx - omega t + de pode ser relacionada com a densidade linear e a velocidade da onda:
Substituindo na expressão da potência:

Passo 8

Substituindo P = rho (omegak)^2 A^2 k omega sin^2(kx - omega t + de na expressão acima:
P = rho omega^2k^2 A^2 k omega sin^2(kx - omega t + de
Simplificando os termos:
P = rho omega^3k A^2 sin^2(kx - omega t + de
P = rho v omega^2 A^2 sin^2(kx - omega t + de
Mas , então , então:

Resposta

P(x, t) = rho v omega^2 A^2 sin^2(k x - omega t + de

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