O movimento de uma onda harmônica em uma corda vibrante é,
. Sabendo que a potência instantânea é dada por
e
, mostre com muito esmero que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento de uma onda harmônica em uma corda vibrante, dada por
. A matéria envolvida aqui é a mecânica das ondas, especificamente ondas em cordas vibrantes. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a força
e a velocidade
das partículas da corda, e depois usar a definição de potência instantânea
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
em relação a
para encontrar
. Isso representa como a posição da corda muda no espaço.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
para encontrar
. Isso mostra como a posição da corda muda no tempo.
Passo 4
Sabemos que a força
é dada por:
Substituindo
:
Aqui,
é a tensão na corda.
Passo 5
A velocidade
é:
Passo 6
Agora, vamos calcular a potência instantânea
. Como ambas as forças estão na direção
, o produto escalar simplifica para a multiplicação dos componentes.
Passo 7
Sabemos que a velocidade da onda
está relacionada com os parâmetros da onda por:
E a tensão
pode ser relacionada com a densidade linear
e a velocidade da onda:
Substituindo
na expressão da potência:
Passo 8
Substituindo
na expressão acima:
Simplificando os termos:
Mas
, então
, então: