[Mudança de escala] Se
e
for uma constante positiva qualquer, verifique que
Utilize isto para obter
de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
cuja transformada de Laplace é
. O exercício nos apresenta uma propriedade de mudança de escala para a transformada de Laplace e nos pede para verificar essa propriedade. Além disso, devemos usar essa propriedade para encontrar a transformada de Laplace de
usando a transformada de
.
Para resolver isso, precisaremos entender a propriedade de mudança de escala da transformada de Laplace e conhecer a transformada de
.
Passo 2
Vamos começar verificando a propriedade de mudança de escala que o exercício nos dá:
Aqui,
é uma constante positiva qualquer, e
é a transformada de Laplace de
.
Essa propriedade nos mostra como a transformada de Laplace se comporta quando a função original é “esticada” ou “comprimida” por um fator
.
Passo 3
Para verificar essa propriedade, vamos usar a definição da transformada de Laplace:
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja
, então
ou
. Quando
,
, e quando
,
.
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
Simplificando os coeficientes:
Passo 5
Observamos que a integral resultante é a definição da transformada de Laplace de
com
substituído por
:
Portanto, mostramos que:
Isso confirma a propriedade de mudança de escala apresentada no enunciado.
Passo 6
Agora, vamos aplicar essa propriedade para encontrar
usando
.
Sabemos que:
Aqui,
é a transformada de
.
Passo 7
Para encontrar
, identificamos que
e
. Aplicando a propriedade de mudança de escala:
Substituindo
:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Agora, multiplicamos por
:
Resposta
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, onde
.
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