[Mudança de escala] Se e for uma constante positiva qualquer, verifique que
Utilize isto para obter de

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função cuja transformada de Laplace é . O exercício nos apresenta uma propriedade de mudança de escala para a transformada de Laplace e nos pede para verificar essa propriedade. Além disso, devemos usar essa propriedade para encontrar a transformada de Laplace de usando a transformada de .
Para resolver isso, precisaremos entender a propriedade de mudança de escala da transformada de Laplace e conhecer a transformada de .

Passo 2

Vamos começar verificando a propriedade de mudança de escala que o exercício nos dá:
Aqui, é uma constante positiva qualquer, e é a transformada de Laplace de .
Essa propriedade nos mostra como a transformada de Laplace se comporta quando a função original é “esticada” ou “comprimida” por um fator .

Passo 3

Para verificar essa propriedade, vamos usar a definição da transformada de Laplace:
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja , então ou . Quando , , e quando , .

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
Simplificando os coeficientes:

Passo 5

Observamos que a integral resultante é a definição da transformada de Laplace de com substituído por :
Portanto, mostramos que:
Isso confirma a propriedade de mudança de escala apresentada no enunciado.

Passo 6

Agora, vamos aplicar essa propriedade para encontrar usando .
Sabemos que:
Aqui, é a transformada de .

Passo 7

Para encontrar , identificamos que e . Aplicando a propriedade de mudança de escala:
Substituindo :

Passo 8

Simplificando a expressão:
Agora, multiplicamos por :

Resposta

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