[Mudança de escala] Se F(p)=Lf(x) e c for uma constante positiva qualquer, verifique que
Lf(c x)=1c F(sc)
Utilize isto para obter Lcos (omega x) de Lcos (x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função cuja transformada de Laplace é . O exercício nos apresenta uma propriedade de mudança de escala para a transformada de Laplace e nos pede para verificar essa propriedade. Além disso, devemos usar essa propriedade para encontrar a transformada de Laplace de usando a transformada de .
Para resolver isso, precisaremos entender a propriedade de mudança de escala da transformada de Laplace e conhecer a transformada de .

Passo 2

Vamos começar verificando a propriedade de mudança de escala que o exercício nos dá:
Lf(c x) = 1c F(sc)
Aqui, é uma constante positiva qualquer, e é a transformada de Laplace de .
Essa propriedade nos mostra como a transformada de Laplace se comporta quando a função original é “esticada” ou “comprimida” por um fator .

Passo 3

Para verificar essa propriedade, vamos usar a definição da transformada de Laplace:
Lf(c x) = integral0^infty e^-s x f(c x) , dx
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja , então ou . Quando , , e quando , .

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
Lf(c x) = integral0^infty e^-s x f(c x) , dx = integral0^infty e^-s uc f(u) cdot duc
Simplificando os coeficientes:
Lf(c x) = 1c integral0^infty e^-sc u f(u) , du

Passo 5

Observamos que a integral resultante é a definição da transformada de Laplace de Lf(c x) = 1c F(sc) com Lf(c x) = 1c F(sc) substituído por :
Portanto, mostramos que:
Isso confirma a propriedade de mudança de escala apresentada no enunciado.

Passo 6

Agora, vamos aplicar essa propriedade para encontrar Lcos(x) = ss^2 + 1 usando .
Sabemos que:
Aqui, é a transformada de .

Passo 7

Para encontrar Lcos(omega x) = 1omega F(somega) , identificamos que F(somega) = somega(somega)^2 + 1 = somegas^2omega^2 + 1 e . Aplicando a propriedade de mudança de escala:
Substituindo :

Passo 8

Simplificando a expressão:
somegas^2omega^2 + 1 = somegas^2 + omega^2omega^2 = somega cdot omega^2s^2 + omega^2 = s omegas^2 + omega^2
Agora, multiplicamos por Lcos(omega x) = 1omega cdot s omegas^2 + omega^2 = ss^2 + omega^2 :

Resposta

Lcos(omega x) = ss^2 + omega^2

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