Resolva o seguinte sistema de equações não-lineares para os ângulos incógnitos
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que envolve funções trigonométricas para encontrar os ângulos
,
e
. Aqui, estamos lidando com senos, cossenos e tangentes, então a matéria envolvida é trigonometria. Para resolver, vamos precisar reorganizar as equações de forma que possamos simplificar e encontrar os valores de cada função trigonométrica, e depois descobrir os ângulos correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o sistema fazendo substituições para tornar as equações mais fáceis de resolver. Vamos definir:
Assim, nosso sistema original fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema de equações lineares com as incógnitas
,
e
. Podemos usar o método de eliminação para achar esses valores.
Primeiro, vamos multiplicar a Equação 1 por 2 para facilitar a eliminação:
Agora, subtraímos a Equação 2 dessa nova equação:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
Passo 4
Em seguida, vamos trabalhar com a Equação 3 e a Equação 1 original para eliminar
. Multiplicamos a Equação 1 por 3:
Agora, subtraímos a Equação 3 dessa nova equação:
Passo 5
Com
, voltamos para a Equação 4 para encontrar
:
Agora, sabemos que
. Isso significa que
é o ângulo cujo cosseno é -1.
Passo 6
Agora, vamos encontrar
usando a Equação 1 original:
Então, , o que significa que
é o ângulo cujo seno é 1.
Passo 7
Agora que temos:
Vamos encontrar os ângulos
,
e
dentro dos intervalos dados:
Passo 8
Para
:
Pois o seno é 1 apenas em
dentro de
a
.
Para
:
Pois o cosseno é -1 apenas em
dentro de
a
.
Para
:
Pois a tangente é 0 apenas em
dentro de
a
.
Resposta
Os valores dos ângulos são:
Exercícios relacionados
[Mudança de escala] Se
e
for uma constante positiva qualquer, verifique que
Utilize isto para obter
de
Resolva os seguintes sistemas homogêneos de equações lineares por qualquer método.
(b)
(b)
Calcular os autovalores e os correspondentes autovetores das seguintes matrizes:
O vetor
é ortogonal aos vetores
. Além disso,
. Encontre
.