Resolva o seguinte sistema de equações não-lineares para os ângulos incógnitos , onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que envolve funções trigonométricas para encontrar os ângulos , e . Aqui, estamos lidando com senos, cossenos e tangentes, então a matéria envolvida é trigonometria. Para resolver, vamos precisar reorganizar as equações de forma que possamos simplificar e encontrar os valores de cada função trigonométrica, e depois descobrir os ângulos correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o sistema fazendo substituições para tornar as equações mais fáceis de resolver. Vamos definir:
Assim, nosso sistema original fica:
çãçãçã

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações lineares com as incógnitas , e . Podemos usar o método de eliminação para achar esses valores.
Primeiro, vamos multiplicar a Equação 1 por 2 para facilitar a eliminação:
çã
Agora, subtraímos a Equação 2 dessa nova equação:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
çã

Passo 4

Em seguida, vamos trabalhar com a Equação 3 e a Equação 1 original para eliminar . Multiplicamos a Equação 1 por 3:
çã
Agora, subtraímos a Equação 3 dessa nova equação:

Passo 5

Com , voltamos para a Equação 4 para encontrar :
Agora, sabemos que . Isso significa que é o ângulo cujo cosseno é -1.

Passo 6

Agora, vamos encontrar usando a Equação 1 original:
Então, , o que significa que é o ângulo cujo seno é 1.

Passo 7

Agora que temos:
Vamos encontrar os ângulos , e dentro dos intervalos dados:

Passo 8

Para :
Pois o seno é 1 apenas em dentro de a .
Para :
Pois o cosseno é -1 apenas em dentro de a .
Para :
Pois a tangente é 0 apenas em dentro de a .

Resposta

Os valores dos ângulos são:

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