Resolva o seguinte sistema de equações não-lineares para os ângulos incógnitos alpha, beta c gamma, onde 0 <= alpha <= 2 pi, 0 <= beta <= 2 pi c 0 <= gamma.
& 2 sen alpha-cos beta+3 tg gamma=3 & 4 sen alpha+2 cos beta-2 tg gamma=2 & 6 sen alpha-3 cos beta+tg gamma=9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que envolve funções trigonométricas para encontrar os ângulos , e . Aqui, estamos lidando com senos, cossenos e tangentes, então a matéria envolvida é trigonometria. Para resolver, vamos precisar reorganizar as equações de forma que possamos simplificar e encontrar os valores de cada função trigonométrica, e depois descobrir os ângulos correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o sistema fazendo substituições para tornar as equações mais fáceis de resolver. Vamos definir:
Assim, nosso sistema original fica:
x = sen alpha, y = cos beta, z = tg gamma çãçãçã

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações lineares com as incógnitas 4x - 2y + 6z = 6 (Equação 1 mu, (4x - 2y + 6z) - (4x + 2y - 2z) = 6 - 2 -4y + 8z = 4 Rightarrow -4y + 8z = 4 e - y + 2z = 1 (Equação 4) . Podemos usar o método de eliminação para achar esses valores.
Primeiro, vamos multiplicar a Equação 1 por 2 para facilitar a eliminação:
çã
Agora, subtraímos a Equação 2 dessa nova equação:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
çã

Passo 4

Em seguida, vamos trabalhar com a Equação 3 e a Equação 1 original para eliminar 6x - 3y + 9z = 9 (Equação 1 mu. Multiplicamos a Equação 1 por 3:
(6x - 3y + 9z) - (6x - 3y + z) = 9 - 9 8z = 0 Rightarrow z = 0 çã
Agora, subtraímos a Equação 3 dessa nova equação:

Passo 5

Com - y + 2(0) = 1 - y = 1 Rightarrow y = -1 , voltamos para a Equação 4 para encontrar :
Agora, sabemos que . Isso significa que é o ângulo cujo cosseno é -1.

Passo 6

Agora, vamos encontrar 2x - (-1) + 3(0) = 3 2x + 1 = 3 2x = 2 Rightarrow x = 1 usando a Equação 1 original:
Então, , o que significa que é o ângulo cujo seno é 1.

Passo 7

Agora que temos:
Vamos encontrar os ângulos x = sen alpha = 1 y = cos beta = -1 z = tg gamma = 0 , e dentro dos intervalos dados:

Passo 8

Para sen alpha = 1 Rightarrow alpha = pi2 :
Pois o seno é 1 apenas em cos beta = -1 Rightarrow beta = pi dentro de tg gamma = 0 Rightarrow gamma = 0 a .
Para :
Pois o cosseno é -1 apenas em dentro de a .
Para :
Pois a tangente é 0 apenas em dentro de a .

Resposta

Os valores dos ângulos são:
alpha = pi2, beta = pi, gamma = 0

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