Resolva os seguintes sistemas homogêneos de equações lineares por qualquer método.
(b) & 3 x1+x2+x3+x4=0 & 5 x1-x2+x3-x4=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares homogêneas, ou seja, todas as equações igualam a zero. O objetivo é encontrar os valores das incógnitas e que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação, que ajuda a simplificar o sistema passo a passo até encontrar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as duas equações que temos:
3x1 + x2 + x3 + x4 = 0 (1) 5x1 - x2 + x3 - x4 = 0 (2)

Passo 3

Vamos somar as duas equações para eliminar algumas variáveis. Somando (1) e (2):
(3x1 + x2 + x3 + x4) + (5x1 - x2 + x3 - x4) = 0 + 0
Isso simplifica para:
8x1 + 2x3 = 0 (3)

Passo 4

Agora, da equação (3), podemos expressar 8x1 + 2x3 = 0 implies x1 = -28x3 = -14x3 em função de :
Então, depende de . Vamos chamar de parâmetro livre, ou seja, , onde pode ser qualquer número real.

Passo 5

Agora, substituímos 3(-14t) + x2 + t + x4 = 0 na equação (1) para encontrar uma relação entre -34t + x2 + t + x4 = 0 e x2 + x4 + 14t = 0 :
x2 = -x4 - 14t
Aqui, vemos que também depende de . Podemos deixar como outro parâmetro livre, digamos , onde também pode ser qualquer número real.

Passo 6

Agora, temos todas as variáveis expressas em termos dos parâmetros livres x1 = -14t x2 = -s - 14t x3 = t x4 = s e :

Resposta

As soluções do sistema são dadas por:
x1 = -dfrac14t x2 = -s - dfrac14t x3 = t x4 = s
Onde e são números reais livres para escolha.

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