Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial não-exata que você me mandou. O enunciado pede para multiplicar a EDO por um fator integrante, de modo que ela se torne exata, e então resolver a equação resultante. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre EDOs exatas e fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando e na equação original. A equação dada é:
Aqui, temos:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como , a equação não é exata.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicarmos a equação original por ele, a nova equação se torne exata. Geralmente, tentamos fatores que dependem apenas de ou apenas de . Vamos verificar se um fator que depende só de funciona.
Calculamos:
Esse resultado não depende apenas de ou de , então um fator integrante que depende apenas de uma dessas variáveis não funcionará facilmente. Portanto, vamos tentar outro método.
Passo 5
Observando a estrutura da equação, percebemos que podemos simplificá-la dividindo ambos os lados por . Vamos fazer isso:
Simplificando:
Agora, a equação fica:
Simplificando mais:
Passo 6
Agora, vamos tentar encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Suponhamos que o fator integrante seja do tipo . Multiplicando a equação por , buscamos valores de e que satisfaçam a condição de exatidão:
Após alguns cálculos, encontramos que e funcionam:
Passo 7
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Essa nova equação é exata.
Passo 8
Agora que a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial tal que: