Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial não-exata que você me mandou. O enunciado pede para multiplicar a EDO por um fator integrante, de modo que ela se torne exata, e então resolver a equação resultante. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre EDOs exatas e fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando e na equação original. A equação dada é:
Aqui, temos:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicarmos a equação original por ele, a nova equação se torne exata. Geralmente, tentamos fatores que dependem apenas de ou apenas de . Vamos verificar se um fator que depende só de funciona.
Calculamos:
Esse resultado não depende apenas de ou de , então um fator integrante que depende apenas de uma dessas variáveis não funcionará facilmente. Portanto, vamos tentar outro método.

Passo 5

Observando a estrutura da equação, percebemos que podemos simplificá-la dividindo ambos os lados por . Vamos fazer isso:
Simplificando:
Agora, a equação fica:
Simplificando mais:

Passo 6

Agora, vamos tentar encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Suponhamos que o fator integrante seja do tipo . Multiplicando a equação por , buscamos valores de e que satisfaçam a condição de exatidão:
Após alguns cálculos, encontramos que e funcionam:

Passo 7

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Essa nova equação é exata.

Passo 8

Agora que a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial tal que:
Integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando os termos, vemos que:
Então:
Portanto, a função potencial é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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Sejam e . Sabendo-se que o ângulo entre e é obtuso, determine o valor de de modo que a área do paralelogramo determinado pelos vetores e seja .
Determine a solução geral das edo
Suponha que uma força constante move uma partícula de um ponto até um ponto . O trabalho realizado pela partícula é dado por:
Se a unidade de comprimento é dada em metros e a força em Newtons, o trabalho é dado em Joules . Calcule o trabalho considerando:
(a)
(b) .
Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.