Determine a solução geral das edo
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) da forma
, onde
é diferente de zero. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar usar métodos de resolução de EDOs lineares de primeira ordem, especificamente aplicando um fator integrante.
Passo 2
A equação que temos é
. Essa é uma EDO linear de primeira ordem, onde
representa a derivada de
em relação a
, e
e
são constantes. Para resolver essa equação, vamos multiplicar todos os termos por um fator integrante que facilita a resolução.
Passo 3
O fator integrante
é calculado pela fórmula:
onde
é o coeficiente de
na equação. No nosso caso,
, então:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto
em relação a
. Isso simplifica a resolução.
Passo 5
Reescrevendo a equação, temos:
Para resolver, vamos integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 6
Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo simplifica para
. No lado direito, a integral de
é:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Igualando os dois lados:
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da EDO
é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Seja
. Determine o vetor
, tal que
, e que tem a mesma direção e o sentido contrário de
.
Sejam
e
vetores, com ângulo entre si medindo
e tais que
. Determine a área do triângulo que tem os vetores
e
como lados adjacentes.
Sejam
e
. Sabendo-se que o ângulo entre
e
é obtuso, determine o valor de
de modo que a área do paralelogramo determinado pelos vetores
e
seja
.
Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.