Determine a solução geral das edo

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) da forma , onde é diferente de zero. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar usar métodos de resolução de EDOs lineares de primeira ordem, especificamente aplicando um fator integrante.

Passo 2

A equação que temos é . Essa é uma EDO linear de primeira ordem, onde representa a derivada de em relação a , e e são constantes. Para resolver essa equação, vamos multiplicar todos os termos por um fator integrante que facilita a resolução.

Passo 3

O fator integrante é calculado pela fórmula:
onde é o coeficiente de na equação. No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto em relação a . Isso simplifica a resolução.

Passo 5

Reescrevendo a equação, temos:
Para resolver, vamos integrar ambos os lados em relação a .

Passo 6

Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo simplifica para . No lado direito, a integral de é:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Igualando os dois lados:
Para encontrar , dividimos ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde é uma constante arbitrária.

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