Sejam e . Sabendo-se que o ângulo entre e é obtuso, determine o valor de de modo que a área do paralelogramo determinado pelos vetores e seja .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos dois vetores:
O enunciado nos diz que o ângulo entre e é obtuso e que a área do paralelogramo formado por e deve ser . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de produto escalar para o ângulo e produto vetorial para a área do paralelogramo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que o ângulo entre e é obtuso. Um ângulo obtuso é aquele que está entre 90° e 180°, o que implica que o cosseno desse ângulo é negativo.
Para encontrar o cosseno do ângulo entre e , usamos a fórmula do produto escalar:
Passo 3
Calculando o produto escalar :
A magnitude de é 1, então:
Como o ângulo é obtuso, , portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular a área do paralelogramo formado por e . A área é dada pela magnitude do produto vetorial:
O produto vetorial é calculado da seguinte forma:
Passo 5
Calculando o determinante:
Passo 6
Agora, calculamos a magnitude do vetor resultante:
Passo 7
Sabemos que a área , então:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Subtraindo 30:
Dividindo por 5:
Passo 8
Resolvendo para :
Mas lembrando do Passo 3, onde vimos que . Portanto, descartamos a solução positiva.