Sejam u = a i + 2 j + k e v = i + j - 2k. Sabendo-se que o ângulo entre u e i é obtuso, determine o valor de a de modo que a área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v seja raiz(50).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos dois vetores:
O enunciado nos diz que o ângulo entre e é obtuso e que a área do paralelogramo formado por e deve ser . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de produto escalar para o ângulo e produto vetorial para a área do paralelogramo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o ângulo entre e é obtuso. Um ângulo obtuso é aquele que está entre 90° e 180°, o que implica que o cosseno desse ângulo é negativo.
Para encontrar o cosseno do ângulo entre e , usamos a fórmula do produto escalar:

Passo 3

Calculando o produto escalar :
A magnitude de é 1, então:
Como o ângulo é obtuso, , portanto:
á

Passo 4

Agora, vamos calcular a área do paralelogramo formado por e . A área é dada pela magnitude do produto vetorial:
O produto vetorial é calculado da seguinte forma:

Passo 5

Calculando o determinante:

Passo 6

Agora, calculamos a magnitude do vetor resultante:

Passo 7

Sabemos que a área , então:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Subtraindo 30:
Dividindo por 5:

Passo 8

Resolvendo para :
Mas lembrando do Passo 3, onde vimos que . Portanto, descartamos a solução positiva.

Resposta

O valor de é .

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