Mostre que para quaisquer vetores
e
, tem-se:
(a)
.
(b)
.
©
.
(d)
.
(e)
(Identidade de Lagrange).
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Vamos resolver os itens (a) a (e) que envolvem propriedades de vetores, normas e produtos internos. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como a norma de um vetor e o produto interno. Precisaremos aplicar as definições dessas operações e propriedades básicas dos vetores para demonstrar cada igualdade.
Passo 2
Item (a): Queremos mostrar que para quaisquer vetores
e
, temos
Para resolver isso, vamos expandir as normas ao quadrado usando a definição de norma e produto interno.
Passo 3
Expandindo
:
Expandindo
:
Passo 4
Somando as duas expressões:
Simplificando:
Passo 5
Item (b): Queremos mostrar que
Já vimos essa expansão no passo anterior, onde usamos a definição de norma ao quadrado.
Passo 6
Usando a definição de norma ao quadrado:
Passo 7
Item ©: Precisamos mostrar que
Vamos expandir
usando a definição de norma ao quadrado.
Passo 8
Expandindo:
Passo 9
Item (d): Queremos provar que
Vamos usar as expansões dos itens (b) e ©.
Passo 10
Subtraindo as expansões:
Simplificando:
Passo 11
Item (e): Precisamos mostrar a Identidade de Lagrange:
Vamos usar propriedades do produto vetorial e do produto interno.
Passo 12
Sabemos que:
onde
é o ângulo entre
e
, e
Elevando ambos ao quadrado:
e
Passo 13
Somando as duas equações:
Isolando
:
Resposta
Todas as igualdades foram demonstradas conforme solicitado.
Exercícios relacionados
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
( )
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
(
Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.
Determine o valor de
para que os vetores
e
sejam coplanares.
Determine a solução geral das edo