Mostre que para quaisquer vetores e , tem-se:
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) (Identidade de Lagrange).

Passo 1

Vamos resolver os itens (a) a (e) que envolvem propriedades de vetores, normas e produtos internos. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como a norma de um vetor e o produto interno. Precisaremos aplicar as definições dessas operações e propriedades básicas dos vetores para demonstrar cada igualdade.

Passo 2

Item (a): Queremos mostrar que para quaisquer vetores e , temos
Para resolver isso, vamos expandir as normas ao quadrado usando a definição de norma e produto interno.

Passo 3

Expandindo :
Expandindo :

Passo 4

Somando as duas expressões:
Simplificando:

Passo 5

Item (b): Queremos mostrar que
Já vimos essa expansão no passo anterior, onde usamos a definição de norma ao quadrado.

Passo 6

Usando a definição de norma ao quadrado:

Passo 7

Item ©: Precisamos mostrar que
Vamos expandir usando a definição de norma ao quadrado.

Passo 8

Expandindo:

Passo 9

Item (d): Queremos provar que
Vamos usar as expansões dos itens (b) e ©.

Passo 10

Subtraindo as expansões:
Simplificando:

Passo 11

Item (e): Precisamos mostrar a Identidade de Lagrange:
Vamos usar propriedades do produto vetorial e do produto interno.

Passo 12

Sabemos que:
onde é o ângulo entre e , e
Elevando ambos ao quadrado:
e

Passo 13

Somando as duas equações:
Isolando :

Resposta

Todas as igualdades foram demonstradas conforme solicitado.

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(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
( )
Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.
Determine o valor de para que os vetores e sejam coplanares.
Determine a solução geral das edo