Mostre que para quaisquer vetores u e v, tem-se:
(a) ||u + v||^2 + ||u - v||^2 = 2(||u||^2 + ||v||^2).
(b) ||u + v||^2 = ||u||^2 + 2 * <u, v> + ||v||^2.
© ||u - v||^2 = ||u||^2 - 2<u, v> + ||v||^2.
(d) ||u + v||^2 - ||u - v||^2 = 4<u, v>.
(e) ||u x v||^2 = ||u||^2 ||v||^2 - <u, v>^2 (Identidade de Lagrange).

Passo 1

Vamos resolver os itens (a) a (e) que envolvem propriedades de vetores, normas e produtos internos. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como a norma de um vetor e o produto interno. Precisaremos aplicar as definições dessas operações e propriedades básicas dos vetores para demonstrar cada igualdade.

Passo 2

Item (a): Queremos mostrar que para quaisquer vetores u e v, temos
Para resolver isso, vamos expandir as normas ao quadrado usando a definição de norma e produto interno.

Passo 3

Expandindo :
Expandindo :

Passo 4

Somando as duas expressões:
Simplificando:

Passo 5

Item (b): Queremos mostrar que
Já vimos essa expansão no passo anterior, onde usamos a definição de norma ao quadrado.

Passo 6

Usando a definição de norma ao quadrado:

Passo 7

Item ©: Precisamos mostrar que
Vamos expandir usando a definição de norma ao quadrado.

Passo 8

Expandindo:

Passo 9

Item (d): Queremos provar que
Vamos usar as expansões dos itens (b) e ©.

Passo 10

Subtraindo as expansões:
Simplificando:

Passo 11

Item (e): Precisamos mostrar a Identidade de Lagrange:
Vamos usar propriedades do produto vetorial e do produto interno.

Passo 12

Sabemos que:
onde theta é o ângulo entre u e v, e
Elevando ambos ao quadrado:
e

Passo 13

Somando as duas equações:
Isolando :

Resposta

Todas as igualdades foram demonstradas conforme solicitado.

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