(n) O raio de convergência da série da série é infinito.
Passo 1
Então, a gente tem uma série de potências dada por . Nosso objetivo aqui é encontrar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é . O Teste da Razão envolve calcular o limite de quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, precisamos usar outro teste.
Passo 3
Vamos calcular esse limite:
Simplificando, temos:
Como cresce muito mais rápido que , o limite desse quociente tende a .
Passo 4
Como o limite encontrado é , que é menor que , isso significa que a série converge para todos os valores de . Portanto, o raio de convergência é infinito.