(n) O raio de convergência da série da série é infinito.

Passo 1

Então, a gente tem uma série de potências dada por . Nosso objetivo aqui é encontrar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é . O Teste da Razão envolve calcular o limite de quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, precisamos usar outro teste.

Passo 3

Vamos calcular esse limite:
Simplificando, temos:
Como cresce muito mais rápido que , o limite desse quociente tende a .

Passo 4

Como o limite encontrado é , que é menor que , isso significa que a série converge para todos os valores de . Portanto, o raio de convergência é infinito.

Resposta

O raio de convergência da série é infinito.

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Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
h) ;
Para , calcule a derivada direcional em na direção do mais rápido crescimento de f.
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
f) ;
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
b) ;