Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
f) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma relação dada: , onde é uma constante qualquer. A missão aqui é verificar se essa relação é uma solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) apresentada: .
Para resolver isso, vamos precisar usar a derivação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada de em relação a quando as funções e estão misturadas na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a derivada em ambos os lados da relação em relação a . Lembrando que é uma constante, a derivada dele é zero.

Passo 3

Aplicando a derivada:
Calculando cada termo:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar , resultando em .

Passo 4

Agora, vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

A EDO que a gente quer verificar é:
Vamos reescrever isso em termos de :
Ou seja:
Agora, vamos comparar essa expressão com a que obtivemos da derivação implícita:

Passo 6

Observamos que as duas expressões para são diferentes:
Isso significa que a relação não satisfaz a EDO dada.

Resposta

A relação dada não é uma solução geral da EDO , porque as derivadas obtidas não coincidem.

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(n) O raio de convergência da série da série é infinito.
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
h) ;
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
b) ;
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
c) ;