Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
b)
;
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as soluções gerais da Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem
. Isso envolve entender um pouco de cálculo, especificamente sobre integrais, já que vamos precisar integrar algumas funções para achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização. A equação dada é:
Podemos rearranjar isso para isolar
:
Isso significa que a variação de
em relação a
é igual a
vezes a variação de
.
Passo 3
Agora, para encontrar
, precisamos integrar ambos os lados da equação. A integração nos permite encontrar uma função cuja derivada (ou variação) é a função dada. Então, vamos integrar:
A integral de
é simplesmente
, e a integral de
em relação a
é
. Não podemos esquecer da constante de integração
, que representa todas as possíveis soluções gerais.
Passo 4
Realizando as integrações, temos:
Onde
é uma constante qualquer real.
Passo 5
Para verificar se essa solução está correta, podemos derivar
em relação a
e ver se corresponde à equação original.
Derivando
, obtemos:
Substituindo de volta na equação original
, vemos que:
Está tudo certinho, então nossa solução está correta.
Resposta
A solução geral da EDO é
, onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
f) ;
f)
(n) O raio de convergência da série da série
é infinito.
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
c) ;
c)
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
m) ;
m)