Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
h) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) e uma relação proposta. Nosso objetivo é verificar se essa relação é de fato uma solução geral dessa EDO. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e manipulação algébrica. Vamos precisar derivar a relação proposta e ver se ela satisfaz a EDO dada.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a relação proposta:
Onde é uma constante real.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a partir dessa relação. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Mas antes, vamos simplificar a expressão para facilitar a diferenciação.

Passo 4

Vamos reescrever a equação para isolar a raiz:

Passo 5

Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 6

Expandindo os termos:

Passo 7

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que é função de , usamos a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 8

Diferenciando o lado esquerdo:
Diferenciando o lado direito:

Passo 9

Agora, igualamos as derivadas:

Passo 10

Nosso objetivo é isolar . Para simplificar, vamos reorganizar os termos e resolver para . Esse processo pode ser um pouco trabalhoso, mas seguindo passo a passo conseguimos chegar na expressão desejada.

Passo 11

Após os cálculos e simplificações necessárias, chegamos à seguinte expressão para :

Resposta

Sim, a relação dada é uma solução geral da EDO apresentada, pois ao derivar a relação proposta obtivemos que , que é exatamente a EDO fornecida.

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Para , calcule a derivada direcional em na direção do mais rápido crescimento de f.
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
d) ;
(n) O raio de convergência da série da série é infinito.
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
f) ;