Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
h)
;
h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) e uma relação proposta. Nosso objetivo é verificar se essa relação é de fato uma solução geral dessa EDO. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e manipulação algébrica. Vamos precisar derivar a relação proposta e ver se ela satisfaz a EDO dada.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a relação proposta:
Onde
é uma constante real.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar
a partir dessa relação. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Mas antes, vamos simplificar a expressão para facilitar a diferenciação.
Passo 4
Vamos reescrever a equação para isolar a raiz:
Passo 5
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 6
Expandindo os termos:
Passo 7
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembrando que
é função de
, usamos a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 8
Diferenciando o lado esquerdo:
Diferenciando o lado direito:
Passo 9
Agora, igualamos as derivadas:
Passo 10
Nosso objetivo é isolar
. Para simplificar, vamos reorganizar os termos e resolver para
. Esse processo pode ser um pouco trabalhoso, mas seguindo passo a passo conseguimos chegar na expressão desejada.
Passo 11
Após os cálculos e simplificações necessárias, chegamos à seguinte expressão para
:
Resposta
Sim, a relação dada é uma solução geral da EDO apresentada, pois ao derivar a relação proposta obtivemos que
, que é exatamente a EDO fornecida.
Exercícios relacionados
Para
, calcule a derivada direcional em
na direção do mais rápido crescimento de f.
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
d) ;
d)
(n) O raio de convergência da série da série
é infinito.
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
f) ;
f)