Uma nave espacial de massa m descreve uma órbita circular a uma distância R1 do centro da Terra. Considere G a constante de gravitação universal e MT a massa da Terra. Desconsidere as forças de atrito.
Calcule o trabalho que deve ser realizado pelos foguetes da nave para transportá-la até uma órbita circular de raio R2 maior do que R1 ( 10 pontos).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma nave espacial de massa $ m $ que está orbitando a Terra em uma órbita circular de raio $ R_{1} $. Queremos calcular o trabalho que os foguetes da nave precisam fazer para mudar essa órbita para uma nova de raio $ R_{2} $, que é maior que $ R_{1} $. Para isso, vamos usar conceitos de energia gravitacional e trabalho em órbitas circulares. Precisamos lembrar das fórmulas da energia potencial gravitacional e de como calcular o trabalho necessário para mudar a energia da nave.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a energia total da nave na órbita inicial e na órbita final. A energia total $ E $ de um objeto em órbita circular é a soma da energia cinética $ K $ e da energia potencial gravitacional $ U $.
A energia cinética em órbita circular é dada por:
E
E a energia potencial gravitacional é:
K
Onde:
  • $ G $ é a constante de gravitação universal,
  • $ M_{T} $ é a massa da Terra,
  • $ R $ é o raio da órbita.

Passo 3

Para uma órbita circular, a velocidade $ v $ pode ser relacionada ao raio $ R $ pela equação da força centrífuga igual à força gravitacional:
v
Simplificando, temos:
R
Então, a energia cinética fica:
m v^2R = G MT mR^2

Passo 4

Agora, a energia total $ E $ da nave na órbita é:
E
Essa é a energia total na órbita de raio $ R $.

Passo 5

Vamos calcular a energia total na órbita inicial ($ R_{1} R1 ó R_{2} $):
Energia na órbita inicial:
R2
Energia na órbita final:
E1 = -G MT m2 R1

Passo 6

O trabalho $ W $ realizado pelos foguetes para mudar a órbita é a diferença entre a energia final e a energia inicial:
W
Substituindo as expressões:
W = E2 - E1
W = ( -G MT m2 R2 ) - ( -G MT m2 R1 )

Passo 7

Fatorando $ \frac{G M_{T} m}{2} $, temos:
G MT m2
Essa é a expressão para o trabalho realizado pelos foguetes para transferir a nave da órbita $ R_{1} $ para $ R_{2} $.

Resposta

O trabalho realizado pelos foguetes é:
W = G MT m2 ( 1R1 - 1R2 )

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