Uma nave espacial de massa
descreve uma órbita circular a uma distância
do centro da Terra. Considere
a constante de gravitação universal e
a massa da Terra. Desconsidere as forças de atrito.
Calcule o trabalho que deve ser realizado pelos foguetes da nave para transportá-la até uma órbita circular de raio
maior do que
( 10 pontos).
Calcule o trabalho que deve ser realizado pelos foguetes da nave para transportá-la até uma órbita circular de raio
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma nave espacial de massa $ m $ que está orbitando a Terra em uma órbita circular de raio $ R_{1} $. Queremos calcular o trabalho que os foguetes da nave precisam fazer para mudar essa órbita para uma nova de raio $ R_{2} $, que é maior que $ R_{1} $. Para isso, vamos usar conceitos de energia gravitacional e trabalho em órbitas circulares. Precisamos lembrar das fórmulas da energia potencial gravitacional e de como calcular o trabalho necessário para mudar a energia da nave.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a energia total da nave na órbita inicial e na órbita final. A energia total $ E $ de um objeto em órbita circular é a soma da energia cinética $ K $ e da energia potencial gravitacional $ U $.
A energia cinética em órbita circular é dada por:
E a energia potencial gravitacional é:
Onde:
- $ G $ é a constante de gravitação universal,
- $ M_{T} $ é a massa da Terra,
- $ R $ é o raio da órbita.
Passo 3
Para uma órbita circular, a velocidade $ v $ pode ser relacionada ao raio $ R $ pela equação da força centrífuga igual à força gravitacional:
Simplificando, temos:
Então, a energia cinética fica:
Passo 4
Agora, a energia total $ E $ da nave na órbita é:
Essa é a energia total na órbita de raio $ R $.
Passo 5
Vamos calcular a energia total na órbita inicial ($ R_{1}
R_{2} $):
Energia na órbita inicial:
Energia na órbita final:
Passo 6
O trabalho $ W $ realizado pelos foguetes para mudar a órbita é a diferença entre a energia final e a energia inicial:
Substituindo as expressões:
Passo 7
Fatorando $ \frac{G M_{T} m}{2} $, temos:
Essa é a expressão para o trabalho realizado pelos foguetes para transferir a nave da órbita $ R_{1} $ para $ R_{2} $.
Resposta
O trabalho realizado pelos foguetes é: