Uma nave espacial está se movendo a em relação à Terra quando, após ter queimado todo o combustível, o motor do foguete (de massa 5 m ) é desacoplado e ejetado para trás com uma velocidade de em relação ao módulo de comando (de massa m). Qual é a velocidade do módulo de comando em relação à Terra imediatamente após a separação?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre uma nave espacial que está se movendo a uma certa velocidade em relação à Terra. A gente vai usar o conceito de conservação do momento linear, que é uma ideia da física que diz que, se não tem força externa agindo, o momento total antes de um evento é igual ao momento total depois. Vamos precisar das massas das partes da nave e das velocidades envolvidas para calcular a velocidade final do módulo de comando.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que cada parte representa:
  • A nave inteira (modulo de comando + motor) tem uma velocidade inicial de em relação à Terra.
  • O motor tem uma massa de e é ejetado para trás com uma velocidade de em relação ao módulo de comando, que tem massa .

Passo 3

Como estamos lidando com a conservação do momento, vamos calcular o momento inicial da nave antes da separação. O momento é dado por:

Passo 4

Depois da separação, temos dois objetos: o módulo de comando e o motor. Precisamos considerar as velocidades após a separação. Vamos chamar a velocidade do módulo de comando após a separação de .
A velocidade do motor será a velocidade do módulo de comando menos a velocidade relativa com que ele foi ejetado:

Passo 5

Agora, calculamos o momento final, que é a soma dos momentos do módulo de comando e do motor:

Passo 6

Segundo a conservação do momento, o momento inicial é igual ao momento final:

Passo 7

Vamos simplificar a equação:
Juntando os termos:

Passo 8

Agora, isolamos :
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

A velocidade do módulo de comando em relação à Terra imediatamente após a separação é de aproximadamente .

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