Uma nave espacial, de 3.0 m de volume, é atingida por um pequeno meteorito que abre no seu casco um orifício com raio de 0,10 mm. Se a pressão de oxigênio no interior do veículo for, inicialmente, 80 kPa e se a temperatura for de 298 K , quanto tempo se passará até que a pressão seja de 70 kPa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma nave espacial com um orifício no casco por onde o oxigênio está escapando. A matéria que vamos usar aqui é de termodinâmica, especificamente sobre leis dos gases e fluxo de gás através de um orifício. Para resolver, vamos precisar usar a Lei dos Gases Ideais e entender como calcular o fluxo de saída do gás para determinar o tempo que leva para a pressão cair de 80 kPa para 70 kPa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. A nave tem um volume de 3,0 m³ e inicialmente a pressão do oxigênio está em 80 kPa a uma temperatura de 298 K. De repente, um orifício com raio de 0,10 mm é criado, permitindo que o oxigênio escape. Queremos saber quanto tempo levará para a pressão interna cair para 70 kPa.

Passo 3

Vamos usar a Lei dos Gases Ideais, que diz:
PV = nRT
Onde:
  • $ P $ é a pressão,
  • $ V $ é o volume,
  • $ n $ é a quantidade de substância (mols),
  • $ R $ é a constante dos gases,
  • $ T $ é a temperatura.
Como o volume $ V $ e a temperatura $ T $ da nave permanecem constantes, podemos relacionar as pressões e quantidades de gás inicial e final.

Passo 4

Vamos relacionar as quantidades de gás antes e depois do vazamento:
P1P2 = n1n2
Onde:
  • $ P_1 = 80 $ kPa,
  • $ P_2 = 70 $ kPa,
  • $ n_1 $ e $ n_2 $ são as quantidades de gás antes e depois.
Rearranjando:
P1 = 80
Isso nos mostra quanto gás permanece após o vazamento.

Passo 5

Agora, vamos calcular a quantidade de gás que sai, $ \Delta n = n_1 - n_2 $:
De
Então, $ \Delta n = \frac{n_1}{8} $.

Passo 6

Para encontrar $ n_1 $, usamos a Lei dos Gases Ideais no estado inicial:
n1
Substituindo os valores:
n1 = P1 VRT

Passo 7

Então, a quantidade de gás que sai é:
De

Passo 8

Agora, precisamos relacionar essa quantidade de gás que sai com o tempo. Para isso, vamos considerar a taxa de fluxo de gás através do orifício. A fórmula para fluxo de massa em regime de fluxo unidimensional e estacionário é:
dotm = Cd A raiz2 rho De
Onde:
  • $ C_d $ é o coeficiente de descarga,
  • $ A $ é a área do orifício,
  • $ \rho $ é a densidade do gás,
  • $ \Delta P $ é a diferença de pressão.
Assumindo $ C_d = 1 $ para simplificação.

Passo 9

Primeiro, vamos calcular a área do orifício:
A = pi r^2 = pi (0,10 times 10^-3 , m)^2 = pi times 10^-8 , m^2 approx 3,14 times 10^-8 , m^2

Passo 10

A densidade $ \rho $ do oxigênio pode ser encontrada usando $ \rho = \frac{PM}{RT} $, onde $ M $ é a massa molar do oxigênio ($ 32 \times 10^{-3} , kg/mol $):
rho

Passo 11

A diferença de pressão $ \Delta P $ que impulsiona o fluxo é $ P_1 - P_2 = 80 , kPa - 70 , kPa = 10 , kPa = 10^4 , Pa $.

Passo 12

Agora, calculamos o fluxo de massa $ \dot{m} $:
dotm

Passo 13

Para encontrar o tempo, precisamos relacionar a massa que sai com a taxa de fluxo. Primeiro, calculamos a massa que sai:
De

Passo 14

Finalmente, o tempo $ t $ é:
t

Resposta

O tempo necessário para que a pressão na nave espacial caia de 80 kPa para 70 kPa é aproximadamente 23,8 horas.

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