Uma nave espacial, de 3.0 m de volume, é atingida por um pequeno meteorito que abre no seu casco um orifício com raio de
. Se a pressão de oxigênio no interior do veículo for, inicialmente, 80 kPa e se a temperatura for de 298 K , quanto tempo se passará até que a pressão seja de 70 kPa?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma nave espacial com um orifício no casco por onde o oxigênio está escapando. A matéria que vamos usar aqui é de termodinâmica, especificamente sobre leis dos gases e fluxo de gás através de um orifício. Para resolver, vamos precisar usar a Lei dos Gases Ideais e entender como calcular o fluxo de saída do gás para determinar o tempo que leva para a pressão cair de 80 kPa para 70 kPa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. A nave tem um volume de 3,0 m³ e inicialmente a pressão do oxigênio está em 80 kPa a uma temperatura de 298 K. De repente, um orifício com raio de 0,10 mm é criado, permitindo que o oxigênio escape. Queremos saber quanto tempo levará para a pressão interna cair para 70 kPa.
Passo 3
Vamos usar a Lei dos Gases Ideais, que diz:
Onde:
- $ P $ é a pressão,
- $ V $ é o volume,
- $ n $ é a quantidade de substância (mols),
- $ R $ é a constante dos gases,
- $ T $ é a temperatura.
Como o volume $ V $ e a temperatura $ T $ da nave permanecem constantes, podemos relacionar as pressões e quantidades de gás inicial e final.
Passo 4
Vamos relacionar as quantidades de gás antes e depois do vazamento:
Onde:
- $ P_1 = 80 $ kPa,
- $ P_2 = 70 $ kPa,
- $ n_1 $ e $ n_2 $ são as quantidades de gás antes e depois.
Rearranjando:
Isso nos mostra quanto gás permanece após o vazamento.
Passo 5
Agora, vamos calcular a quantidade de gás que sai, $ \Delta n = n_1 - n_2 $:
Então, $ \Delta n = \frac{n_1}{8} $.
Passo 6
Para encontrar $ n_1 $, usamos a Lei dos Gases Ideais no estado inicial:
Substituindo os valores:
Passo 7
Então, a quantidade de gás que sai é:
Passo 8
Agora, precisamos relacionar essa quantidade de gás que sai com o tempo. Para isso, vamos considerar a taxa de fluxo de gás através do orifício. A fórmula para fluxo de massa em regime de fluxo unidimensional e estacionário é:
Onde:
- $ C_d $ é o coeficiente de descarga,
- $ A $ é a área do orifício,
- $ \rho $ é a densidade do gás,
- $ \Delta P $ é a diferença de pressão.
Assumindo $ C_d = 1 $ para simplificação.
Passo 9
Primeiro, vamos calcular a área do orifício:
Passo 10
A densidade $ \rho $ do oxigênio pode ser encontrada usando $ \rho = \frac{PM}{RT} $, onde $ M $ é a massa molar do oxigênio ($ 32 \times 10^{-3} , kg/mol $):
Passo 11
A diferença de pressão $ \Delta P $ que impulsiona o fluxo é $ P_1 - P_2 = 80 , kPa - 70 , kPa = 10 , kPa = 10^4 , Pa $.
Passo 12
Agora, calculamos o fluxo de massa $ \dot{m} $:
Passo 13
Para encontrar o tempo, precisamos relacionar a massa que sai com a taxa de fluxo. Primeiro, calculamos a massa que sai:
Passo 14
Finalmente, o tempo $ t $ é:
Resposta
O tempo necessário para que a pressão na nave espacial caia de 80 kPa para 70 kPa é aproximadamente 23,8 horas.