Usando a distribuição de velocidades de Maxwell, estime a fração de moléculas de N , que, a 500 K , têm velocidades no intervalo de 290 a
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que usar a distribuição de velocidades de Maxwell para estimar qual é a fração de moléculas de nitrogênio ($ \mathrm{N}_2 $) a uma temperatura de 500 K que têm velocidades entre 290 m/s e 300 m/s.
Para resolver isso, vamos precisar:
- Fórmula da distribuição de velocidades de Maxwell: que nos permite calcular a probabilidade de encontrar uma molécula com uma certa velocidade em uma dada temperatura.
- Massa da molécula de $ \mathrm{N}_2 $: para usar na fórmula.
- Integração da distribuição no intervalo de 290 a 300 m/s para encontrar a fração desejada.
Passo 2
Vamos começar identificando a fórmula da distribuição de velocidades de Maxwell. A função que descreve a distribuição é:
Onde:
- $ f(v) $ é a função de distribuição de velocidades.
- $ m $ é a massa de uma molécula do gás.
- $ k_B $ é a constante de Boltzmann (
). - $ T $ é a temperatura em Kelvin.
- $ v $ é a velocidade das moléculas.
Passo 3
Vamos calcular a massa de uma molécula de $ \mathrm{N}_2 $. Sabemos que a massa molar do nitrogênio é aproximadamente 28 g/mol. Primeiro, convertemos para kg:
Agora, para obter a massa de uma única molécula, usamos a constante de Avogadro ($ N_A = 6.022 \times 10^{23} , \mathrm{mol}^{-1} $):
Passo 4
Agora que temos todos os valores, vamos inserir na fórmula de Maxwell. Porém, como queremos a fração de moléculas com velocidades entre 290 m/s e 300 m/s, precisamos calcular a integral de $ f(v) $ nesse intervalo:
Essa integral nos dará a probabilidade de uma molécula ter uma velocidade dentro desse intervalo específico.
Passo 5
Antes de calcular a integral, vamos simplificar a expressão de $ f(v) $ com os valores conhecidos:
Simplificando:
Passo 6
Vamos calcular o termo exponencial primeiro:
Então, a função fica:
Passo 7
Para calcular a fração, precisamos integrar $ f(v) $ de 290 m/s a 300 m/s. Contudo, essa integral não tem solução analítica simples, então usamos métodos numéricos ou uma aproximação.
Uma abordagem comum é assumir que, em intervalos pequenos como este, $ f(v) $ pode ser aproximado por seu valor médio multiplicado pela largura do intervalo.
Então:
Onde $ v_{médio} = \frac{290 + 300}{2} = 295 , \mathrm{m/s} $ e $ \Delta v = 10 , \mathrm{m/s} $.
Passo 8
Vamos calcular $ f(295) $:
Substituindo $ v = 295 , \mathrm{m/s} $ na expressão de $ f(v) $:
Calculando o expoente:
Então:
Vamos calcular a constante:
Elevando ao $ \frac{3}{2} $:
Portanto:
Calculando $ 295^2 = 87025 $ e $ e^{-0.295} \approx 0.745 $:
Passo 9
Agora, usando a aproximação da média:
Isso significa que aproximadamente 0.906% das moléculas de $ \mathrm{N}_2 $ a 500 K têm velocidades entre 290 m/s e 300 m/s.
Resposta
A fração de moléculas de $ \mathrm{N}_2 $ a 500 K com velocidades entre 290 m/s e 300 m/s é aproximadamente 0,906%.