Usando a distribuição de velocidades de Maxwell, estime a fração de moléculas de N , que, a 500 K , têm velocidades no intervalo de 290 a 300 m s^1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que usar a distribuição de velocidades de Maxwell para estimar qual é a fração de moléculas de nitrogênio ($ \mathrm{N}_2 $) a uma temperatura de 500 K que têm velocidades entre 290 m/s e 300 m/s.
Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Fórmula da distribuição de velocidades de Maxwell: que nos permite calcular a probabilidade de encontrar uma molécula com uma certa velocidade em uma dada temperatura.
  2. Massa da molécula de $ \mathrm{N}_2 $: para usar na fórmula.
  3. Integração da distribuição no intervalo de 290 a 300 m/s para encontrar a fração desejada.

Passo 2

Vamos começar identificando a fórmula da distribuição de velocidades de Maxwell. A função que descreve a distribuição é:
f(v) = 4pi ( m2pi kB T )^3/2 v^2 e^-mv^22kB T
Onde:
  • $ f(v) $ é a função de distribuição de velocidades.
  • $ m $ é a massa de uma molécula do gás.
  • $ k_B $ é a constante de Boltzmann ( f(v) ).
  • $ T $ é a temperatura em Kelvin.
  • $ v $ é a velocidade das moléculas.

Passo 3

Vamos calcular a massa de uma molécula de $ \mathrm{N}_2 $. Sabemos que a massa molar do nitrogênio é aproximadamente 28 g/mol. Primeiro, convertemos para kg:
N2
Agora, para obter a massa de uma única molécula, usamos a constante de Avogadro ($ N_A = 6.022 \times 10^{23} , \mathrm{mol}^{-1} $):
mmol = 28 , g/mol = 0.028 , kg/mol

Passo 4

Agora que temos todos os valores, vamos inserir na fórmula de Maxwell. Porém, como queremos a fração de moléculas com velocidades entre 290 m/s e 300 m/s, precisamos calcular a integral de $ f(v) $ nesse intervalo:
f(v) çã
Essa integral nos dará a probabilidade de uma molécula ter uma velocidade dentro desse intervalo específico.

Passo 5

Antes de calcular a integral, vamos simplificar a expressão de $ f(v) $ com os valores conhecidos:
f(v)
Simplificando:
f(v) = 4pi ( 4.65 times 10^-26 , kg2pi times 1.38 times 10^-23 , J/K times 500 , K )^3/2 v^2 e^-4.65 times 10^-26 , kg times v^22 times 1.38 times 10^-23 , J/K times 500 , K

Passo 6

Vamos calcular o termo exponencial primeiro:
4.65 times 10^-26 times v^22 times 1.38 times 10^-23 times 500 = 4.65 times 10^-26 times v^21.38 times 10^-20 approx 3.37 times 10^-6 times v^2
Então, a função fica:
f(v) = 4pi ( 4.65 times 10^-262pi times 1.38 times 10^-23 times 500 )^3/2 v^2 e^-3.37 times 10^-6 times v^2

Passo 7

Para calcular a fração, precisamos integrar $ f(v) $ de 290 m/s a 300 m/s. Contudo, essa integral não tem solução analítica simples, então usamos métodos numéricos ou uma aproximação.
Uma abordagem comum é assumir que, em intervalos pequenos como este, $ f(v) $ pode ser aproximado por seu valor médio multiplicado pela largura do intervalo.
Então:
f(v) çãé
Onde $ v_{médio} = \frac{290 + 300}{2} = 295 , \mathrm{m/s} $ e $ \Delta v = 10 , \mathrm{m/s} $.

Passo 8

Vamos calcular $ f(295) $:
Substituindo $ v = 295 , \mathrm{m/s} $ na expressão de $ f(v) $:
f(295)
Calculando o expoente:
v = 295 , m/s
Então:
f(v)
Vamos calcular a constante:
f(295) = 4pi ( 4.65 times 10^-262pi times 1.38 times 10^-23 times 500 )^3/2 times 295^2 times e^-3.37 times 10^-6 times 295^2
Elevando ao $ \frac{3}{2} $:
-3.37 times 10^-6 times 295^2 approx -0.295
Portanto:
f(295) = 4pi times (constante) times 295^2 times e^-0.295
Calculando $ 295^2 = 87025 $ e $ e^{-0.295} \approx 0.745 $:
4.65 times 10^-262pi times 1.38 times 10^-23 times 500 approx 1.07 times 10^-6

Passo 9

Agora, usando a aproximação da média:
Fração approx f(295) times Deçã
Isso significa que aproximadamente 0.906% das moléculas de $ \mathrm{N}_2 $ a 500 K têm velocidades entre 290 m/s e 300 m/s.

Resposta

A fração de moléculas de $ \mathrm{N}_2 $ a 500 K com velocidades entre 290 m/s e 300 m/s é aproximadamente 0,906%.

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