Nesse exercício,
é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados:
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um número complexo
qualquer e queremos analisar o conjunto de todos os números complexos
que satisfazem a condição
. Vamos precisar usar conceitos de números complexos, principalmente sobre produtos e partes imaginárias, além de entender conceitos de conjuntos abertos, fechados, fronteiras, domínios e conjuntos limitados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo
pode ser escrito como
, onde
e
são números reais, e
é a unidade imaginária. O número
também pode ser escrito como
. Agora, vamos calcular o produto
:
A parte imaginária desse produto é
. Queremos que essa parte imaginária seja maior que zero:
Passo 3
Vamos interpretar essa inequação no plano complexo (plano de Argand). Cada número complexo
corresponde a um ponto
nesse plano. A inequação
representa uma região do plano.
Para visualizar isso, podemos reescrever a inequação como:
Isso representa uma região que está acima (ou abaixo, dependendo dos sinais de
e
) de uma linha reta definida por
.
Passo 4
Vamos analisar as propriedades desse conjunto:
-
Aberto ou Fechado: A desigualdade estrita
indica que estamos considerando apenas os pontos onde é maior que zero, sem incluir a linha onde . Portanto, o conjunto é aberto. -
Fronteira: A fronteira desse conjunto é a linha reta
, já que essa é a “borda” que separa os pontos que satisfazem a inequação dos que não satisfazem. -
Domínio: Um domínio é um conjunto aberto e conexo. Como nosso conjunto é aberto e uma região contínua do plano, ele é um domínio.
-
Limitado: Um conjunto é limitado se está todo contido dentro de um círculo de raio finito. Nosso conjunto se estende infinitamente em uma direção, então ele é ilimitado.
Resposta
O conjunto
é uma região aberta no plano complexo, delimitada pela linha reta
. Sua fronteira é essa linha reta. O conjunto é um domínio e é ilimitado.
Exercícios relacionados
Para cada um dos conjuntos abaixo, sua fronteira é descrita por uma curva suave por partes. Esboce o conjunto, sua fronteira e dê uma aplicação que a descreva.
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Nesse exercício,
é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados:
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Em cada uns dos problemas encontre a solução geral.
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Nesse exercício,
é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados: