Nesse exercício, é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados: .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um número complexo qualquer e queremos analisar o conjunto de todos os números complexos que satisfazem a condição . Vamos precisar usar conceitos de números complexos, principalmente sobre produtos e partes imaginárias, além de entender conceitos de conjuntos abertos, fechados, fronteiras, domínios e conjuntos limitados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser escrito como , onde e são números reais, e é a unidade imaginária. O número também pode ser escrito como . Agora, vamos calcular o produto :
A parte imaginária desse produto é . Queremos que essa parte imaginária seja maior que zero:

Passo 3

Vamos interpretar essa inequação no plano complexo (plano de Argand). Cada número complexo corresponde a um ponto nesse plano. A inequação representa uma região do plano.
Para visualizar isso, podemos reescrever a inequação como:
Isso representa uma região que está acima (ou abaixo, dependendo dos sinais de e ) de uma linha reta definida por .

Passo 4

Vamos analisar as propriedades desse conjunto:
  • Aberto ou Fechado: A desigualdade estrita indica que estamos considerando apenas os pontos onde é maior que zero, sem incluir a linha onde . Portanto, o conjunto é aberto.
  • Fronteira: A fronteira desse conjunto é a linha reta , já que essa é a “borda” que separa os pontos que satisfazem a inequação dos que não satisfazem.
  • Domínio: Um domínio é um conjunto aberto e conexo. Como nosso conjunto é aberto e uma região contínua do plano, ele é um domínio.
  • Limitado: Um conjunto é limitado se está todo contido dentro de um círculo de raio finito. Nosso conjunto se estende infinitamente em uma direção, então ele é ilimitado.

Resposta

O conjunto é uma região aberta no plano complexo, delimitada pela linha reta . Sua fronteira é essa linha reta. O conjunto é um domínio e é ilimitado.

Exercícios relacionados

Para cada um dos conjuntos abaixo, sua fronteira é descrita por uma curva suave por partes. Esboce o conjunto, sua fronteira e dê uma aplicação que a descreva. .
Nesse exercício, é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados: .
Em cada uns dos problemas encontre a solução geral. .
Nesse exercício, é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados: