Nesse exercício,
é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente analisar o conjunto de números complexos
que satisfazem a condição
, onde
é um número complexo qualquer. Vamos precisar de conhecimentos sobre números complexos, representação geométrica no plano complexo, e propriedades de conjuntos abertos, fechados, fronteiras, domínios e conjuntos limitados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que
significa. Esse símbolo representa o conjugado de
. Se
, então
, onde
e
são números reais.
Passo 3
Agora, vamos representar um número complexo genérico
como
, onde
e
são números reais. A condição dada no exercício é:
Passo 4
Vamos calcular cada módulo separadamente. O módulo de um número complexo
é dado por
.
Então,
Passo 5
A condição
pode ser reescrita sem as raízes quadradas, já que elas são positivas:
Passo 6
Simplificando a desigualdade:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 7
Expandindo os quadrados:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 8
Somando
em ambos os lados:
Isso implica que:
Passo 9
Portanto, o conjunto
representa o semiplano no plano complexo onde a parte imaginária de
é maior ou igual a zero se
, ou menor ou igual a zero se
.
Passo 10
Agora, vamos analisar as características do conjunto:
- Fechado ou Aberto: O semiplano inclui a linha de fronteira
, então é um conjunto fechado. - Fronteira: A linha
é a fronteira do conjunto. - Domínio: Como é um semiplano que é um conjunto aberto e conectado, é considerado um domínio.
- Limitado: O semiplano se estende infinitamente em uma direção, então não é limitado.
Resposta
O conjunto
é um semiplano fechado no plano complexo, cuja fronteira é a linha
. Ele é um domínio, mas não é limitado.
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Nesse exercício,
é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados:
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Calcule
e
onde
é (i) o retângulo delimitado pelas retas
,
e
, (ii)
e
tem orientação compativel).
Para cada um dos conjuntos abaixo, sua fronteira é descrita por uma curva suave por partes. Esboce o conjunto, sua fronteira e dê uma aplicação que a descreva.
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Nesse exercício,
é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados:
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