Nesse exercício, é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente analisar o conjunto de números complexos que satisfazem a condição , onde é um número complexo qualquer. Vamos precisar de conhecimentos sobre números complexos, representação geométrica no plano complexo, e propriedades de conjuntos abertos, fechados, fronteiras, domínios e conjuntos limitados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa. Esse símbolo representa o conjugado de . Se , então , onde e são números reais.

Passo 3

Agora, vamos representar um número complexo genérico como , onde e são números reais. A condição dada no exercício é:

Passo 4

Vamos calcular cada módulo separadamente. O módulo de um número complexo é dado por .
Então,

Passo 5

A condição pode ser reescrita sem as raízes quadradas, já que elas são positivas:

Passo 6

Simplificando a desigualdade:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 7

Expandindo os quadrados:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 8

Somando em ambos os lados:
Isso implica que:

Passo 9

Portanto, o conjunto representa o semiplano no plano complexo onde a parte imaginária de é maior ou igual a zero se , ou menor ou igual a zero se .

Passo 10

Agora, vamos analisar as características do conjunto:
  • Fechado ou Aberto: O semiplano inclui a linha de fronteira , então é um conjunto fechado.
  • Fronteira: A linha é a fronteira do conjunto.
  • Domínio: Como é um semiplano que é um conjunto aberto e conectado, é considerado um domínio.
  • Limitado: O semiplano se estende infinitamente em uma direção, então não é limitado.

Resposta

O conjunto é um semiplano fechado no plano complexo, cuja fronteira é a linha . Ele é um domínio, mas não é limitado.

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Nesse exercício, é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados: .
Calcule
e
onde é (i) o retângulo delimitado pelas retas , e , (ii) e tem orientação compativel).
Para cada um dos conjuntos abaixo, sua fronteira é descrita por uma curva suave por partes. Esboce o conjunto, sua fronteira e dê uma aplicação que a descreva. .
Nesse exercício, é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados: .