Para cada um dos conjuntos abaixo, sua fronteira é descrita por uma curva suave por partes. Esboce o conjunto, sua fronteira e dê uma aplicação que a descreva. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar o conjunto no plano complexo, desenhar sua fronteira e pensar em uma função que o descreva. Estamos trabalhando com números complexos, então vamos precisar entender sobre módulo e parte real dos números complexos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, representa o módulo do número complexo , que é a distância do ponto até a origem no plano complexo. Então, essa condição nos diz que estamos olhando para todos os pontos que estão entre duas circunferências: uma com raio e outra com raio .

Passo 3

Agora, vamos analisar a condição . representa a parte real de . Quando dizemos que , estamos restringindo nosso conjunto aos pontos que estão no semiplano direito do plano complexo (ou seja, onde a parte real é positiva ou zero).

Passo 4

Combinando essas duas condições, o conjunto consiste em todos os números complexos que estão entre as duas circunferências mencionadas e no semiplano direito. Isso forma uma espécie de anel cortado pela linha do eixo imaginário.

Passo 5

Vamos esboçar isso! Imagine duas circunferências concêntricas, uma maior com raio e uma menor com raio . Agora, sombreie a região entre elas que está à direita do eixo imaginário (onde ). A fronteira desse conjunto será composta pelas partes das duas circunferências e pelo próprio eixo imaginário.

Passo 6

Para descrever esse conjunto com uma aplicação, podemos pensar em uma função que mapeia o disco unitário para esse anel. Uma função simples seria . Essa função ajusta o módulo dos números complexos para que eles fiquem entre e e mantém a parte real não negativa.

Resposta

O conjunto é a região no plano complexo que está entre as circunferências de raio e no semiplano direito. Sua fronteira é formada pelas partes dessas duas circunferências juntamente com o eixo imaginário. Uma função que descreve esse conjunto é .

Exercícios relacionados

Nesse exercício, é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados: .
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Em cada uns dos problemas encontre a solução geral. .