Para cada um dos conjuntos abaixo, sua fronteira é descrita por uma curva suave por partes. Esboce o conjunto, sua fronteira e dê uma aplicação que a descreva.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar o conjunto
no plano complexo, desenhar sua fronteira e pensar em uma função que o descreva. Estamos trabalhando com números complexos, então vamos precisar entender sobre módulo e parte real dos números complexos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Aqui,
representa o módulo do número complexo
, que é a distância do ponto
até a origem no plano complexo. Então, essa condição nos diz que estamos olhando para todos os pontos que estão entre duas circunferências: uma com raio
e outra com raio
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a condição
.
representa a parte real de
. Quando dizemos que
, estamos restringindo nosso conjunto aos pontos que estão no semiplano direito do plano complexo (ou seja, onde a parte real é positiva ou zero).
Passo 4
Combinando essas duas condições, o conjunto
consiste em todos os números complexos que estão entre as duas circunferências mencionadas e no semiplano direito. Isso forma uma espécie de anel cortado pela linha do eixo imaginário.
Passo 5
Vamos esboçar isso! Imagine duas circunferências concêntricas, uma maior com raio
e uma menor com raio
. Agora, sombreie a região entre elas que está à direita do eixo imaginário (onde
). A fronteira desse conjunto será composta pelas partes das duas circunferências e pelo próprio eixo imaginário.
Passo 6
Para descrever esse conjunto com uma aplicação, podemos pensar em uma função que mapeia o disco unitário para esse anel. Uma função simples seria
. Essa função ajusta o módulo dos números complexos para que eles fiquem entre
e
e mantém a parte real não negativa.
Resposta
O conjunto
é a região no plano complexo que está entre as circunferências de raio
e
no semiplano direito. Sua fronteira é formada pelas partes dessas duas circunferências juntamente com o eixo imaginário. Uma função que descreve esse conjunto é
.
Exercícios relacionados
Nesse exercício,
é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados:
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Nesse exercício,
é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados:
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Nesse exercício,
é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados:
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Em cada uns dos problemas encontre a solução geral.
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