Calcule as seguintes integrais:
b) integral 3^2 x sen 3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma função que é o produto de uma exponencial e uma função trigonométrica . Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada integração por partes, que nos ajuda a integrar produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função exponencial 3^2x = e^2x ln(3) de uma forma que facilite a aplicação da integração por partes. Sabemos que integral e^2x ln(3) sen(3x) , dx pode ser expressa usando a base da seguinte maneira:
Isso simplifica nossa expressão para:

Passo 3

Agora, identificamos que a nossa integral está na forma , onde integral e^ax sen(bx) , dx = e^ax (a sen(bx) - b cos(bx))a^2 + b^2 + C e . Existe uma fórmula padrão para integrar expressões desse tipo:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando essa fórmula aos nossos valores de integral e^2x ln(3) sen(3x) , dx = e^2x ln(3) (2 ln(3) sen(3x) - 3 cos(3x))(2 ln(3))^2 + 3^2 + C e (2 ln(3))^2 + 3^2 = 4 (ln(3))^2 + 9 , temos:
Simplificando o denominador:

Passo 5

Voltando para a base original e^2x ln(3) = 3^2x :
integral 3^2x sen(3x) , dx = 3^2x (2 ln(3) sen(3x) - 3 cos(3x))4 (ln(3))^2 + 9 + C
Portanto, podemos reescrever a solução em termos de :

Resposta

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