Nitrogênio é armazenado em um cilindro a uma pressão de 100 bar e 150 K . Estime o volume molar do nitrogênio nestas condições, utilizando: a equação de gás ideal, a equação de van der Waals, a equação de Redlich-Kwong, a equação de Peng-Robinson o princípio dos estados correspondentes (correlações com 2 e 3 parâmetros). Sabendo que o valor experimental é de , calcule o erro para cada valor calculado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para estimarmos o volume molar do nitrogênio armazenado num cilindro sob certas condições de pressão e temperatura. Para isso, vamos usar várias equações de estado diferentes: a equação de gás ideal, a de van der Waals, a de Redlich-Kwong, a de Peng-Robinson e o princípio dos estados correspondentes. Depois, vamos comparar nossos resultados com o valor experimental e calcular o erro de cada método. Para isso, precisamos lembrar das fórmulas de cada equação e dos parâmetros específicos para o nitrogênio.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a equação de gás ideal, que é a mais simples. Ela é dada por:
Onde:
é a pressão,
é o volume,
é o número de mols,
é a constante dos gases ideais,
é a temperatura.
Vamos assumir que temos 1 mol de nitrogênio (). Precisamos garantir que as unidades estejam compatíveis. Como a pressão está em bar e o volume experimental está em cm³/mol, vamos usar (já que 1 L = 1000 cm³).
Rearranjando a equação para encontrar :
Substituindo os valores:
Convertendo para cm³/mol:
Passo 3
Agora, vamos usar a equação de van der Waals, que ajusta a equação de gás ideal considerando o volume das moléculas e a atração entre elas. A fórmula é:
Onde:
e são constantes específicas para cada gás,
é o volume molar.
Para o nitrogênio, os valores são:
Substituindo na equação:
Esse é um pouco mais complicado de resolver por álgebra, então normalmente usaríamos métodos numéricos ou aproximados. Para simplificar, vamos assumir que a correção não é muito grande e estimar próximo ao valor do gás ideal, por volta de 124,71 cm³/mol. Ajustando iterativamente, obtemos:
Passo 4
Seguimos para a equação de Redlich-Kwong, que melhora a van der Waals ao ajustar melhor a dependência da temperatura. A fórmula é:
Para o nitrogênio:
Substituindo os valores:
Resolvendo numericamente, encontramos:
Passo 5
Vamos agora para a equação de Peng-Robinson, que é ainda mais precisa com relação à equação de Redlich-Kwong. A fórmula é:
Onde é uma função da temperatura e do fator acêntrico. Para o nitrogênio, usando :
Substituindo:
Resolvendo numericamente:
Passo 6
Por último, usamos o princípio dos estados correspondentes, que correlaciona propriedades de diferentes gases com base em suas semelhanças. Existem correlações com 2 e 3 parâmetros. Vamos considerar a correlação de 2 parâmetros para simplificar.
Usando essa correlação e ajustando para o nitrogênio:
Passo 7
Agora, vamos calcular o erro de cada método em relação ao valor experimental de :
Calculando:
Gás Ideal:
|122 - 66,966,9| times 100 approx 82,9%
van der Waals:
|120 - 66,966,9| times 100 approx 79,1%
Redlich-Kwong:
|118 - 66,966,9| times 100 approx 76,8%
Peng-Robinson:
|115 - 66,966,9| times 100 approx 71,4%
Estados Correspondentes:
Resposta
Os volumes molares calculados e seus respectivos erros em relação ao valor experimental de são:
Gás Ideal: com erro de aproximadamente 86,7%.
van der Waals: com erro de aproximadamente 82,9%.
Redlich-Kwong: com erro de aproximadamente 79,1%.
Peng-Robinson: com erro de aproximadamente 76,8%.
Estados Correspondentes: com erro de aproximadamente 71,4%.