Um subfornecedor da IBM foi contratado para fabricar substratos de cerâmica, utilizados para transmitir sinais entre chips de silício para computador. As especificações exigem uma resistência entre 1,5 ohm e 2,5 ohms, mas a população tem resistências distribuídas normalmente com média de 1,978 ohm e desvio- padrão de 0,172 ohm. Que porcentagem dos substratos de cerâmica fogem das especificações do fabricante? Esse processo de fabricação parece estar funcionando bem?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a fabricação de substratos de cerâmica que precisam ter uma resistência entre 1,5 ohm e 2,5 ohms. A resistência desses substratos segue uma distribuição normal com média de 1,978 ohm e desvio padrão de 0,172 ohm. Nosso objetivo é descobrir que porcentagem desses substratos estão fora das especificações e avaliar se o processo de fabricação está funcionando bem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição normal e ao cálculo de probabilidades.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma distribuição normal. Ela é uma curva em forma de sino onde a maioria dos valores se concentra perto da média, e a probabilidade diminui à medida que nos afastamos da média. Aqui, a média (μ) é 1,978 ohm e o desvio padrão (σ) é 0,172 ohm.
Passo 3
Queremos saber a porcentagem de substratos com resistência menor que 1,5 ohm ou maior que 2,5 ohm. Isso significa que precisamos calcular duas probabilidades:
- P(X < 1,5)
- P(X > 2,5)
Passo 4
Para calcular essas probabilidades, vamos padronizar os valores usando a fórmula do escore z:
Onde:
- $ X $ é o valor específico,
- $ \mu $ é a média,
- $ \sigma $ é o desvio padrão.
Passo 5
Vamos calcular o z para X = 1,5 ohm:
E para X = 2,5 ohm:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar as probabilidades correspondentes a esses valores de z usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora de probabilidade.
- Para $ z_1 \approx -2,78 $, a probabilidade de P(Z < -2,78) é aproximadamente 0,0027 (ou 0,27%).
- Para $ z_2 \approx 3,04 $, a probabilidade de P(Z > 3,04) é aproximadamente 0,0012 (ou 0,12%).
Passo 7
Para encontrar a porcentagem total de substratos fora das especificações, somamos essas duas probabilidades:
Passo 8
Então, cerca de 0,39% dos substratos de cerâmica estão fora das especificações de resistência.
Resposta
Aproximadamente 0,39% dos substratos de cerâmica fogem das especificações do fabricante. Esse baixo percentual indica que o processo de fabricação está funcionando bem.