Um subfornecedor da IBM foi contratado para fabricar substratos de cerâmica, utilizados para transmitir sinais entre chips de silício para computador. As especificações exigem uma resistência entre 1,5 ohm e 2,5 ohms, mas a população tem resistências distribuídas normalmente com média de 1,978 ohm e desvio- padrão de 0,172 ohm. Que porcentagem dos substratos de cerâmica fogem das especificações do fabricante? Esse processo de fabricação parece estar funcionando bem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a fabricação de substratos de cerâmica que precisam ter uma resistência entre 1,5 ohm e 2,5 ohms. A resistência desses substratos segue uma distribuição normal com média de 1,978 ohm e desvio padrão de 0,172 ohm. Nosso objetivo é descobrir que porcentagem desses substratos estão fora das especificações e avaliar se o processo de fabricação está funcionando bem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição normal e ao cálculo de probabilidades.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma distribuição normal. Ela é uma curva em forma de sino onde a maioria dos valores se concentra perto da média, e a probabilidade diminui à medida que nos afastamos da média. Aqui, a média (μ) é 1,978 ohm e o desvio padrão (σ) é 0,172 ohm.

Passo 3

Queremos saber a porcentagem de substratos com resistência menor que 1,5 ohm ou maior que 2,5 ohm. Isso significa que precisamos calcular duas probabilidades:
  1. P(X < 1,5)
  2. P(X > 2,5)

Passo 4

Para calcular essas probabilidades, vamos padronizar os valores usando a fórmula do escore z:
z = X - musigma
Onde:
  • $ X $ é o valor específico,
  • $ \mu $ é a média,
  • $ \sigma $ é o desvio padrão.

Passo 5

Vamos calcular o z para X = 1,5 ohm:
z1 = 1,5 - 1,9780,172 = -0,4780,172 approx -2,78
E para X = 2,5 ohm:
z2 = 2,5 - 1,9780,172 = 0,5220,172 approx 3,04

Passo 6

Agora, precisamos encontrar as probabilidades correspondentes a esses valores de z usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora de probabilidade.
  • Para $ z_1 \approx -2,78 $, a probabilidade de P(Z < -2,78) é aproximadamente 0,0027 (ou 0,27%).
  • Para $ z_2 \approx 3,04 $, a probabilidade de P(Z > 3,04) é aproximadamente 0,0012 (ou 0,12%).

Passo 7

Para encontrar a porcentagem total de substratos fora das especificações, somamos essas duas probabilidades:
0,27% + 0,12% = 0,39%

Passo 8

Então, cerca de 0,39% dos substratos de cerâmica estão fora das especificações de resistência.

Resposta

Aproximadamente 0,39% dos substratos de cerâmica fogem das especificações do fabricante. Esse baixo percentual indica que o processo de fabricação está funcionando bem.

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