O nível de água em um reservatório municipal decresce constantemente durante um periodo de seca acreditando-se que este pode continuar operando por mais 60 dias. Os técnicos estimam que a taxa de consumo na unidade seja de aproximadamente
dia. O serviço de meteorologia estima também que as chuvas, a captação de água dos riachos e a evaporação da água do reservatório resultem (em conjunto) em um acréscimo liquido de água a uma taxa de
litros por dia, onde
é o tempo em dias contados a partir do início do período, quando o tanque continha em torno de
de água. Represente o fluxograma e calcule o volume de água do reservatório ao final de 2 meses de seca contínua.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um reservatório que tá perdendo água durante uma seca, mas também tem um jeitinho de ganhar um pouco de água com chuvas, riachos e evaporação. O objetivo aqui é calcular quanto de água vai sobrar no final de 2 meses (aproximadamente 60 dias). Para isso, vamos usar conceitos de taxas de variação e equações diferenciais, que ajudam a entender como algo muda ao longo do tempo. Vamos precisar entender como montar a equação que descreve esse equilíbrio entre a água que sai e a que entra no reservatório.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
- Volume inicial de água: $ V_0 = 10^{9} $ litros.
- Taxa de consumo (saída de água): $ Q_{out} = 10^{7} $ litros/dia.
- Taxa de acréscimo de água (entrada): $ Q_{in}(t) = 10^{6} e^{-t/100} $ litros/dia.
- Tempo total: $ t = 60 $ dias.
A gente quer encontrar o volume final de água $ V(t) $ após 60 dias.
Para isso, vamos montar uma equação diferencial que descreve a mudança no volume de água ao longo do tempo:
Substituindo as taxas conhecidas:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial para encontrar $ V(t) $.
Primeiro, integramos ambos os lados em relação a $ t $:
Isso simplifica para:
Onde $ C $ é a constante de integração. Para encontrar $ C $, usamos a condição inicial $ V(0) = 10^{9} $ litros:
Então, a equação fica:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular o volume de água após 60 dias. Substituímos $ t = 60 $ na equação:
Primeiro, calculamos $ e^{-60/100} = e^{-0.6} \approx 0,5488 $:
Somando tudo:
Resposta
Após 2 meses de seca contínua, o volume de água no reservatório será de aproximadamente $ 4,45 \times 10^{8} $ litros.