O nível de água em um reservatório municipal decresce constantemente durante um periodo de seca acreditando-se que este pode continuar operando por mais 60 dias. Os técnicos estimam que a taxa de consumo na unidade seja de aproximadamente 10^7 L / dia. O serviço de meteorologia estima também que as chuvas, a captação de água dos riachos e a evaporação da água do reservatório resultem (em conjunto) em um acréscimo liquido de água a uma taxa de 10^6 exp (-t / 100) litros por dia, onde t é o tempo em dias contados a partir do início do período, quando o tanque continha em torno de 10^9 L de água. Represente o fluxograma e calcule o volume de água do reservatório ao final de 2 meses de seca contínua.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um reservatório que tá perdendo água durante uma seca, mas também tem um jeitinho de ganhar um pouco de água com chuvas, riachos e evaporação. O objetivo aqui é calcular quanto de água vai sobrar no final de 2 meses (aproximadamente 60 dias). Para isso, vamos usar conceitos de taxas de variação e equações diferenciais, que ajudam a entender como algo muda ao longo do tempo. Vamos precisar entender como montar a equação que descreve esse equilíbrio entre a água que sai e a que entra no reservatório.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Volume inicial de água: $ V_0 = 10^{9} $ litros.
  • Taxa de consumo (saída de água): $ Q_{out} = 10^{7} $ litros/dia.
  • Taxa de acréscimo de água (entrada): $ Q_{in}(t) = 10^{6} e^{-t/100} $ litros/dia.
  • Tempo total: $ t = 60 $ dias.
A gente quer encontrar o volume final de água $ V(t) $ após 60 dias.
Para isso, vamos montar uma equação diferencial que descreve a mudança no volume de água ao longo do tempo:
V0 = 10^9
Substituindo as taxas conhecidas:
Qout = 10^7

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial para encontrar $ V(t) $.
Primeiro, integramos ambos os lados em relação a $ t $:
V(t)
Isso simplifica para:
t
Onde $ C $ é a constante de integração. Para encontrar $ C $, usamos a condição inicial $ V(0) = 10^{9} $ litros:
integral dVdt dt = integral (10^6 e^-t/100 - 10^7) dt
Então, a equação fica:
V(t) = -10^6 times 100 e^-t/100 - 10^7 t + C
Simplificando:
C

Passo 4

Agora, vamos calcular o volume de água após 60 dias. Substituímos $ t = 60 $ na equação:
t = 60
Primeiro, calculamos $ e^{-60/100} = e^{-0.6} \approx 0,5488 $:
V(60) = -10^8 e^-60/100 - 10^7 times 60 + 1,1 times 10^9
Somando tudo:
e^-60/100 = e^-0.6 approx 0,5488

Resposta

Após 2 meses de seca contínua, o volume de água no reservatório será de aproximadamente $ 4,45 \times 10^{8} $ litros.

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