NotasDeAulas [2023] Calcule a integral onde é o segmento de reta de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é o segmento de reta que vai de até . Isso faz parte de cálculo multivariável, especificamente integrais de linha. Para resolver isso, vamos parametrizar a reta e então calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta . Como estamos indo de até , podemos usar um parâmetro que varia de a . A parametrização fica:
Aqui, , e . O próximo passo é encontrar as derivadas dessas funções em relação a para substituir na integral.

Passo 3

Calculamos as derivadas de , e em relação a :
Essas derivadas representam os componentes do vetor tangente à curva .

Passo 4

Agora, substituímos , , e suas derivadas na integral original. A integral de linha se torna:
Simplificando dentro dos colchetes:

Passo 5

Agora, calculamos a integral:

Resposta

A integral vale .

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