NotasDeAulas [2023] Calcule a integral integralC x^2 d x+y^2 d y+z^2 d z onde C é o segmento de reta de (0,0,0)(3,2,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha integralC x^2 dx + y^2 dy + z^2 dz, onde C é o segmento de reta que vai de (0,0,0) até (3,2,0). Isso faz parte de cálculo multivariável, especificamente integrais de linha. Para resolver isso, vamos parametrizar a reta e então calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta C. Como estamos indo de (0,0,0) até (3,2,0), podemos usar um parâmetro t que varia de 0 a 1. A parametrização fica:
r(t) = (3t, 2t, 0)
Aqui, x = 3t, y = 2t e z = 0. O próximo passo é encontrar as derivadas dessas funções em relação a t para substituir na integral.

Passo 3

Calculamos as derivadas de x, y e z em relação a t:
dxdt = 3, dydt = 2, dzdt = 0
Essas derivadas representam os componentes do vetor tangente à curva C.

Passo 4

Agora, substituímos x, y, z e suas derivadas na integral original. A integral de linha se torna:
integral0^1 [(3t)^2 cdot 3 + (2t)^2 cdot 2 + 0^2 cdot 0] dt
Simplificando dentro dos colchetes:
integral0^1 [9t^2 cdot 3 + 4t^2 cdot 2 + 0] dt = integral0^1 (27t^2 + 8t^2) dt = integral0^1 35t^2 dt

Passo 5

Agora, calculamos a integral:
integral0^1 35t^2 dt = 35 integral0^1 t^2 dt = 35 [t^33]0^1 = 35 (13 - 0) = 353

Resposta

A integral vale 353.

Exercícios relacionados