Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
®
®
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem que é
no intervalo
. Aqui, trabalharemos com equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada com uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Fatorando
(que nunca é zero):
Passo 4
Resolvendo a equação característica
:
Aqui, temos raízes imaginárias, o que indica que a solução homogênea será uma combinação de funções cosseno e seno.
Passo 5
A solução geral da equação homogênea é então:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Como o lado direito é
, que não é uma solução da equação homogênea, podemos tentar uma solução particular da forma:
onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 7
Calculando as derivadas de
:
Passo 8
Substituindo
,
e
na equação completa:
Simplificando:
Passo 9
Para que a igualdade seja válida para todo
no intervalo dado, os coeficientes das funções
e
devem ser iguais. Isso nos leva a um sistema de equações para determinar
. Contudo, ao tentar igualar, percebemos que não conseguimos isolar
de forma direta, indicando que nossa suposição inicial para
não foi adequada.
Passo 10
Diante disso, precisamos usar o método de Variação de Parâmetros para encontrar a solução particular. Este método envolve usar as soluções da equação homogênea para construir
.
Primeiro, escrevemos as soluções homogêneas:
Passo 11
A solução particular pela variação de parâmetros é:
onde
é o Wronskiano de
e
:
Passo 12
Substituindo no
:
Simplificando as integrais:
Passo 13
Calculando as integrais:
Para a primeira integral:
Sabemos que
Para a segunda integral:
Passo 14
Substituindo as integrais de volta em
:
Simplificando:
Passo 15
Finalmente, somando a solução homogênea com a particular:
Resposta
A solução geral da EDO
no intervalo
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(h)
(h)
Calcule:
NotasDeAulas [2023] Calcule a integral
onde
é o segmento de reta de
.
Utilizando o método dos mínimos quadrados, faça um ajuste dos dados para uma curva do tipo
;
|
-20 | -15 | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
60 | 30 | 15 | 9 | 5 | 4 | 4 | 1 | 0.25 |