Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
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Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem que é no intervalo . Aqui, trabalharemos com equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada com uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea:
Fatorando (que nunca é zero):

Passo 4

Resolvendo a equação característica :
Aqui, temos raízes imaginárias, o que indica que a solução homogênea será uma combinação de funções cosseno e seno.

Passo 5

A solução geral da equação homogênea é então:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa . Como o lado direito é , que não é uma solução da equação homogênea, podemos tentar uma solução particular da forma:
onde é uma constante a ser determinada.

Passo 7

Calculando as derivadas de :

Passo 8

Substituindo , e na equação completa:
Simplificando:

Passo 9

Para que a igualdade seja válida para todo no intervalo dado, os coeficientes das funções e devem ser iguais. Isso nos leva a um sistema de equações para determinar . Contudo, ao tentar igualar, percebemos que não conseguimos isolar de forma direta, indicando que nossa suposição inicial para não foi adequada.

Passo 10

Diante disso, precisamos usar o método de Variação de Parâmetros para encontrar a solução particular. Este método envolve usar as soluções da equação homogênea para construir .
Primeiro, escrevemos as soluções homogêneas:

Passo 11

A solução particular pela variação de parâmetros é:
onde é o Wronskiano de e :

Passo 12

Substituindo no :
Simplificando as integrais:

Passo 13

Calculando as integrais:
Para a primeira integral:
Sabemos que
Para a segunda integral:

Passo 14

Substituindo as integrais de volta em :
Simplificando:

Passo 15

Finalmente, somando a solução homogênea com a particular:

Resposta

A solução geral da EDO no intervalo é:
onde e são constantes arbitrárias.

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(h)
Calcule:
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-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
60 30 15 9 5 4 4 1 0.25