Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem que você me passou:
Aqui, estamos lidando com uma EDO linear não homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada com uma solução particular da não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, vamos encontrar as raízes da equação característica. A equação característica para essa EDO é:
Resolvendo essa equação quadrática:
Encontramos uma raiz dupla .
Passo 3
Com a raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes de integração que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Como o termo do lado direito já está na forma e é uma solução da equação homogênea, precisamos multiplicar por para encontrar uma solução particular adequada. Além disso, como a raiz é de multiplicidade 2, teremos que multiplicar novamente por . Então, propomos:
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Simplificando:
Segunda derivada:
Simplificando:
Passo 6
Substituindo , e na equação diferencial original:
Simplificando termo a termo:
Termo de :
Termo de :
Termo de :
Termo constante :
Passo 7
Resolvendo as equações obtidas:
Para o termo :
Para o termo constante:
Hmm, temos uma inconsistência aqui. Isso acontece porque nossa suposição inicial para já estava considerando uma multiplicidade maior. Portanto, vamos ajustar nossa proposta de solução particular.
Passo 8
Vamos propor uma solução particular da forma:
Recalculando as derivadas e substituindo na equação original, encontramos que:
Agora, usando :
Para o termo :
Percebi que houve um erro de cálculo anteriormente. Vamos refazer de forma mais cuidadosa.
Passo 9
Vamos refazer a substituição corretamente:
Substituindo , , e na EDO:
Explicando cada termo:
inclui , mas vamos focar nos coeficientes:
Colete os coeficientes de , , , e constantes:
:
:
:
Constante :
Então, temos:
Isso implica que e , o que é impossível. Isso significa que precisamos ajustar nossa proposta para a solução particular.
Passo 10
Como a forma inicial da solução particular está gerando inconsistências, precisamos multiplicar por novamente devido à raiz dupla. Então, propomos:
Repetindo os passos de derivação e substituição, encontraremos os valores corretos de e . Após os cálculos, obteremos: