Note que x/(x^2 + 2x) = 1/(x + 2), no entanto o domínio dessa expressões não são iguais, o que ocorre aqui?

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos apresenta duas expressões matemáticas: e 1/(x+2). Ele diz que, apesar de parecerem iguais após a simplificação, os domínios dessas funções não são os mesmos. Hoje, vamos explorar o que está acontecendo aqui usando o conteúdo de Funções Racionais e Domínio de Funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função racional. É basicamente uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. No nosso caso, temos duas funções:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a primeira função f(x). Observamos que no denominador , podemos fatorar um x:
Então, a função fica:

Passo 4

Nesse ponto, podemos simplificar a expressão. O x no numerador cancela com o x no denominador:
E essa é exatamente a expressão da função g(x). Então, aparentemente, f(x) e g(x) são iguais.

Passo 5

Mas, atenção! Quando simplificamos uma fração, estamos presumindo que o denominador não é zero, porque divisão por zero não é definida. No caso de f(x), o denominador original não pode ser zero. Portanto, os valores que tornam o denominador zero são:
Já para , o denominador não pode ser zero, então:

Passo 6

Isso significa que, no domínio de f(x), x não pode ser nem 0 nem -2, pois ambos tornam o denominador original igual a zero. Já no domínio de g(x), apenas .

Passo 7

Então, por que os domínios são diferentes? Porque, ao simplificar f(x) para g(x), eliminamos a restrição x != 0. Isso ocorre porque estamos cancelando o fator x, que só é válido se x != 0. Essa é uma armadilha comum na simplificação de frações algébricas.

Resposta

As expressões e 1/(x+2) são iguais após a simplificação, mas possuem domínios diferentes porque está definida para x != 0 e , enquanto 1/(x+2) está definida apenas para . A simplificação removeu a restrição x != 0, causando a diferença nos domínios.

Exercícios relacionados