Note que
, no entanto o domínio dessa expressões não são iguais, o que ocorre aqui?
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos apresenta duas expressões matemáticas:
e
. Ele diz que, apesar de parecerem iguais após a simplificação, os domínios dessas funções não são os mesmos. Hoje, vamos explorar o que está acontecendo aqui usando o conteúdo de Funções Racionais e Domínio de Funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função racional. É basicamente uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. No nosso caso, temos duas funções:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a primeira função
. Observamos que no denominador
, podemos fatorar um
:
Então, a função fica:
Passo 4
Nesse ponto, podemos simplificar a expressão. O
no numerador cancela com o
no denominador:
E essa é exatamente a expressão da função
. Então, aparentemente,
e
são iguais.
Passo 5
Mas, atenção! Quando simplificamos uma fração, estamos presumindo que o denominador não é zero, porque divisão por zero não é definida. No caso de
, o denominador original
não pode ser zero. Portanto, os valores que tornam o denominador zero são:
Já para
, o denominador
não pode ser zero, então:
Passo 6
Isso significa que, no domínio de
,
não pode ser nem
nem
, pois ambos tornam o denominador original igual a zero. Já no domínio de
, apenas
.
Passo 7
Então, por que os domínios são diferentes? Porque, ao simplificar
para
, eliminamos a restrição
. Isso ocorre porque estamos cancelando o fator
, que só é válido se
. Essa é uma armadilha comum na simplificação de frações algébricas.
Resposta
As expressões
e
são iguais após a simplificação, mas possuem domínios diferentes porque
está definida para
e
, enquanto
está definida apenas para
. A simplificação removeu a restrição
, causando a diferença nos domínios.
Exercícios relacionados
Determine o domínio de :
(b)
(b)
Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F) as seguintes sentenças, justificando cada uma:
(I)
(I)
Considere
máx
.
(b) Determine .
(b) Determine
Determine o conjunto solução de:
(d) ;
(d)