(i)(2.0) Nove pêndulos com os seguintes comprimentos são pendurados em uma viga horizontal: (a)0.10; (b)0.30; ©0.40; (d)0.80; (e) 1.2; (f)2.8; (g)3.5; (h) 5.0 e (i)6.2m. A viga sofre oscilações horizontais com frequências horizontais com frequências angulares na faixa de 2.00 rad / s a 4.,00rad/s. Quais pêndulos entram (fortemente) em oscilação? Justifique explicando fisicamente o que acontece. (Dados: Pêndulo simples: x(t)=A cos [raizgL t+varphi] )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre nove pêndulos com diferentes comprimentos pendurados numa viga que oscila horizontalmente com frequências angulares entre e . Nosso objetivo é descobrir quais desses pêndulos vão entrar em forte oscilação, ou seja, onde vai rolar uma ressonância. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre o movimento harmônico dos pêndulos e como a frequência da viga pode sincronizar com a frequência natural dos pêndulos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a frequência angular natural de um pêndulo simples é dada por:
omega = raizgL
Onde:
  • é a frequência angular,
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente ),
  • é o comprimento do pêndulo.
Quando a frequência angular da viga oscilar na mesma frequência natural de um pêndulo, ocorre a ressonância, fazendo com que o pêndulo entre em forte oscilação.

Passo 3

Vamos calcular a frequência angular natural de cada pêndulo usando a fórmula acima. Depois, vamos comparar essas frequências com o intervalo fornecido de a . Se a frequência natural de um pêndulo estiver dentro desse intervalo, ele vai entrar em ressonância.

Passo 4

Vamos fazer os cálculos para cada pêndulo:
  1. Pêndulo a ( omega = raiz9.810.10 approx raiz98.1 approx 9.90 , rad/s ):
    omega = raiz9.810.30 approx raiz32.7 approx 5.72 , rad/s
  2. Pêndulo b ( omega = raiz9.810.40 approx raiz24.525 approx 4.95 , rad/s ):
    omega = raiz9.810.80 approx raiz12.2625 approx 3.50 , rad/s
  3. Pêndulo c ( omega = raiz9.811.2 approx raiz8.175 approx 2.86 , rad/s ):
    omega = raiz9.812.8 approx raiz3.5036 approx 1.87 , rad/s
  4. Pêndulo d ( omega = raiz9.813.5 approx raiz2.803 approx 1.67 , rad/s ):
    omega = raiz9.815.0 approx raiz1.962 approx 1.40 , rad/s
  5. Pêndulo e ( omega = raiz9.816.2 approx raiz1.581 approx 1.26 , rad/s ):
  6. Pêndulo f ( ):
  7. Pêndulo g ( ):
  8. Pêndulo h ( ):
  9. Pêndulo i ( ):

Passo 5

Agora, vamos ver quais dessas frequências estão dentro do intervalo de a :
  • Pêndulo a: → Fora
  • Pêndulo b: → Fora
  • Pêndulo c: → Fora (quase na borda)
  • Pêndulo d: Dentro
  • Pêndulo e: Dentro
  • Pêndulo f: → Fora
  • Pêndulo g: → Fora
  • Pêndulo h: → Fora
  • Pêndulo i: → Fora
Apenas os pêndulos d e e têm frequências angulares dentro do intervalo fornecido.

Resposta

Os pêndulos d (com comprimento de ) e e (com comprimento de ) entram fortemente em oscilação, pois suas frequências naturais estão dentro da faixa de a na qual a viga oscila. Isso ocorre porque a oscilação da viga ressoa com a frequência natural desses pêndulos, amplificando suas oscilações.

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