(i)(2.0) Nove pêndulos com os seguintes comprimentos são pendurados em uma viga horizontal: (a)0.10; (b)0.30; ©0.40; (d)0.80; (e) 1.2; (f)2.8; (g)3.5; (h) 5.0 e (i)6.2m. A viga sofre oscilações horizontais com frequências horizontais com frequências angulares na faixa de
a 4.,00rad/s. Quais pêndulos entram (fortemente) em oscilação? Justifique explicando fisicamente o que acontece. (Dados: Pêndulo simples:
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre nove pêndulos com diferentes comprimentos pendurados numa viga que oscila horizontalmente com frequências angulares entre
e
. Nosso objetivo é descobrir quais desses pêndulos vão entrar em forte oscilação, ou seja, onde vai rolar uma ressonância. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre o movimento harmônico dos pêndulos e como a frequência da viga pode sincronizar com a frequência natural dos pêndulos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a frequência angular natural de um pêndulo simples é dada por:
Onde:
-
é a frequência angular, -
é a aceleração da gravidade (aproximadamente ), -
é o comprimento do pêndulo.
Quando a frequência angular da viga oscilar na mesma frequência natural de um pêndulo, ocorre a ressonância, fazendo com que o pêndulo entre em forte oscilação.
Passo 3
Vamos calcular a frequência angular natural de cada pêndulo usando a fórmula acima. Depois, vamos comparar essas frequências com o intervalo fornecido de
a
. Se a frequência natural de um pêndulo estiver dentro desse intervalo, ele vai entrar em ressonância.
Passo 4
Vamos fazer os cálculos para cada pêndulo:
-
Pêndulo a (
): -
Pêndulo b (
): -
Pêndulo c (
): -
Pêndulo d (
): -
Pêndulo e (
): -
Pêndulo f (
): -
Pêndulo g (
): -
Pêndulo h (
): -
Pêndulo i (
):
Passo 5
Agora, vamos ver quais dessas frequências estão dentro do intervalo de
a
:
- Pêndulo a:
→ Fora - Pêndulo b:
→ Fora - Pêndulo c:
→ Fora (quase na borda) - Pêndulo d:
→ Dentro - Pêndulo e:
→ Dentro - Pêndulo f:
→ Fora - Pêndulo g:
→ Fora - Pêndulo h:
→ Fora - Pêndulo i:
→ Fora
Apenas os pêndulos d e e têm frequências angulares dentro do intervalo fornecido.
Resposta
Os pêndulos d (com comprimento de
) e e (com comprimento de
) entram fortemente em oscilação, pois suas frequências naturais estão dentro da faixa de
a
na qual a viga oscila. Isso ocorre porque a oscilação da viga ressoa com a frequência natural desses pêndulos, amplificando suas oscilações.