Você lança uma bola de sua janela a 8,0 m acima do solo. Quando a bola deixa sua mão, ela se move a 10,0 m/s formando um ângulo de 20^circ abaixo da horizontal. A que distância horizontal de sua janela a bola atinge o solo? Despreze a resistência do ar.

Passo 1

Vamos resumir o problema: você lançou uma bola de uma janela que está a 8,0 , m do chão. A bola sai da sua mão com uma velocidade de 10,0 , m/s formando um ângulo de 20^circ abaixo da horizontal. Queremos descobrir a que distância horizontal a bola vai atingir o solo. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento projetado e cinemática, além de decompor a velocidade inicial nos componentes horizontal e vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial da bola em suas componentes horizontal ( vx) e vertical ( vy). Para isso, usamos as funções trigonométricas seno e cosseno:
vx = v cdot cos(theta)
vy = v cdot sin(theta)
Como o ângulo é abaixo da horizontal, a componente vertical será negativa.

Passo 3

Calculando as componentes:
vx = 10,0 , m/s cdot cos(20^circ) approx 10,0 , m/s cdot 0,9397 approx 9,397 , m/s
vy = 10,0 , m/s cdot sin(20^circ) approx 10,0 , m/s cdot 0,3420 approx 3,420 , m/s
Como o movimento vertical é para baixo, vy = -3,420 , m/s.

Passo 4

Agora, precisamos descobrir o tempo que a bola leva para atingir o solo. Usamos a equação do movimento vertical:
y = y0 + vy t + 12 a t^2
Onde:
  • y é a posição final (0 m, no chão),
  • y0 = 8,0 , m,
  • vy = -3,420 , m/s,
  • a = -9,81 , m/s^2 (aceleração da gravidade).
Substituindo:
0 = 8,0 - 3,420 t - 12 cdot 9,81 t^2
0 = 8,0 - 3,420 t - 4,905 t^2

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática para t:
4,905 t^2 + 3,420 t - 8,0 = 0
Usamos a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 4,905, b = 3,420, c = -8,0.
Calculando o discriminante:
De
t = -3,420 pm raiz168,65642 cdot 4,905 = -3,420 pm 12,9889,81
Desconsideramos a solução negativa:
t = 9,5689,81 approx 0,975 , s

Passo 6

Agora que temos o tempo de voo, podemos calcular a distância horizontal usando a componente horizontal da velocidade:
d = vx cdot t = 9,397 , m/s cdot 0,975 , s approx 9,165 , m

Resposta

A bola atinge o solo a uma distância horizontal de aproximadamente 9,17 , m da janela.

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