O número de carros que atravessam uma ponte durante um certo intervalo tem uma distribuição de Poisson com
. Ache a probabilidade que durante o intervalo:
(a) Nenhum carro atravesse a ponte.
(b) Exatamente três carros atravessam a ponte.
© No máximo cinco carros atravessam a ponte.
(a) Nenhum carro atravesse a ponte.
(b) Exatamente três carros atravessam a ponte.
© No máximo cinco carros atravessam a ponte.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular probabilidades usando a distribuição de Poisson, que é ótima para eventos que acontecem de forma aleatória em um intervalo fixo de tempo ou espaço. Aqui, o número de carros que atravessam a ponte segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
. Vamos precisar da fórmula da distribuição de Poisson para achar as probabilidades pedidas nas partes (a), (b) e © do exercício.
Passo 2
Parte (a): Probabilidade de nenhum carro atravessar a ponte.
A fórmula da distribuição de Poisson é:
Onde:
-
é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos. -
é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,718). -
é a taxa média de ocorrência (neste caso, 4). -
é o fatorial de .
Para nenhum carro atravessar,
:
Calculando:
Passo 3
Parte (b): Probabilidade de exatamente três carros atravessarem a ponte.
Usando a mesma fórmula:
Vamos calcular passo a passo:
-
Calcular
: -
Calcular
: -
Montar a fórmula:
Passo 4
Parte ©: Probabilidade de no máximo cinco carros atravessarem a ponte.
Aqui, a gente quer a probabilidade de 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 carros atravessarem. Então, vamos somar as probabilidades de cada um desses casos:
Vamos calcular cada termo usando a fórmula de Poisson:
-
já calculamos: -
: -
: -
já calculamos: -
: -
:
Agora, somando todas as probabilidades:
Resposta
(a) A probabilidade de nenhum carro atravessar a ponte é aproximadamente 0,0183.
(b) A probabilidade de exatamente três carros atravessarem a ponte é aproximadamente 0,195.
© A probabilidade de no máximo cinco carros atravessarem a ponte é aproximadamente 0,7921.