O número de carros que atravessam uma ponte durante um certo intervalo tem uma distribuição de Poisson com . Ache a probabilidade que durante o intervalo:
(a) Nenhum carro atravesse a ponte.
(b) Exatamente três carros atravessam a ponte.
© No máximo cinco carros atravessam a ponte.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular probabilidades usando a distribuição de Poisson, que é ótima para eventos que acontecem de forma aleatória em um intervalo fixo de tempo ou espaço. Aqui, o número de carros que atravessam a ponte segue uma distribuição de Poisson com parâmetro . Vamos precisar da fórmula da distribuição de Poisson para achar as probabilidades pedidas nas partes (a), (b) e © do exercício.

Passo 2

Parte (a): Probabilidade de nenhum carro atravessar a ponte.
A fórmula da distribuição de Poisson é:
Onde:
  • é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos.
  • é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,718).
  • é a taxa média de ocorrência (neste caso, 4).
  • é o fatorial de .
Para nenhum carro atravessar, :
Calculando:

Passo 3

Parte (b): Probabilidade de exatamente três carros atravessarem a ponte.
Usando a mesma fórmula:
Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcular :
  2. Calcular :
  3. Montar a fórmula:

Passo 4

Parte ©: Probabilidade de no máximo cinco carros atravessarem a ponte.
Aqui, a gente quer a probabilidade de 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 carros atravessarem. Então, vamos somar as probabilidades de cada um desses casos:
Vamos calcular cada termo usando a fórmula de Poisson:
  1. já calculamos:
  2. :
  3. :
  4. já calculamos:
  5. :
  6. :
Agora, somando todas as probabilidades:

Resposta

(a) A probabilidade de nenhum carro atravessar a ponte é aproximadamente 0,0183.
(b) A probabilidade de exatamente três carros atravessarem a ponte é aproximadamente 0,195.
© A probabilidade de no máximo cinco carros atravessarem a ponte é aproximadamente 0,7921.

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