O número de carros que atravessam uma ponte durante um certo intervalo tem uma distribuição de Poisson com lambda=4. Ache a probabilidade que durante o intervalo:
(a) Nenhum carro atravesse a ponte.
(b) Exatamente três carros atravessam a ponte.
© No máximo cinco carros atravessam a ponte.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular probabilidades usando a distribuição de Poisson, que é ótima para eventos que acontecem de forma aleatória em um intervalo fixo de tempo ou espaço. Aqui, o número de carros que atravessam a ponte segue uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda = 4. Vamos precisar da fórmula da distribuição de Poisson para achar as probabilidades pedidas nas partes (a), (b) e © do exercício.

Passo 2

Parte (a): Probabilidade de nenhum carro atravessar a ponte.
A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(k) = e^-lambda lambda^kk!
Onde:
  • P(k) é a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos.
  • e é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,718).
  • lambda é a taxa média de ocorrência (neste caso, 4).
  • k! é o fatorial de k.
Para nenhum carro atravessar, k = 0:
P(0) = e^-4 times 4^00! = e^-4 times 11 = e^-4
Calculando:
e^-4 approx 0,0183

Passo 3

Parte (b): Probabilidade de exatamente três carros atravessarem a ponte.
Usando a mesma fórmula:
P(3) = e^-4 times 4^33!
Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcular 4^3:
    4^3 = 64
  2. Calcular 3!:
    3! = 3 times 2 times 1 = 6
  3. Montar a fórmula:
    P(3) = e^-4 times 646 = 646 times e^-4 approx 10,6667 times 0,0183 approx 0,195

Passo 4

Parte ©: Probabilidade de no máximo cinco carros atravessarem a ponte.
Aqui, a gente quer a probabilidade de 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 carros atravessarem. Então, vamos somar as probabilidades de cada um desses casos:
P(X <= 5) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5)
Vamos calcular cada termo usando a fórmula de Poisson:
  1. P(0) já calculamos:
    P(0) = e^-4 approx 0,0183
  2. P(1):
    P(1) = e^-4 times 4^11! = 4 times e^-41 approx 4 times 0,0183 = 0,0733
  3. P(2):
    P(2) = e^-4 times 4^22! = 16 times e^-42 = 8 times e^-4 approx 0,1465
  4. P(3) já calculamos:
    P(3) approx 0,195
  5. P(4):
    P(4) = e^-4 times 4^44! = 256 times e^-424 approx 10,6667 times 0,0183 approx 0,195
  6. P(5):
    P(5) = e^-4 times 4^55! = 1024 times e^-4120 approx 8,5333 times 0,0183 approx 0,156
Agora, somando todas as probabilidades:
P(X <= 5) approx 0,0183 + 0,0733 + 0,1465 + 0,195 + 0,195 + 0,156 approx 0,7921

Resposta

(a) A probabilidade de nenhum carro atravessar a ponte é aproximadamente 0,0183.
(b) A probabilidade de exatamente três carros atravessarem a ponte é aproximadamente 0,195.
© A probabilidade de no máximo cinco carros atravessarem a ponte é aproximadamente 0,7921.

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