Suponha que o tempo de espera de um cliente num restaurante de comida rápida tenha uma distribuição exponencial, com uma média de 6 minutos. Calcule a probabilidade que um cliente tenha que esperar mais de 12 minutos até ser atendido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente está vendo um problema que fala sobre o tempo de espera de um cliente em um restaurante de comida rápida. Esse tempo segue uma distribuição exponencial, e a média desse tempo é de 6 minutos. O que a gente precisa descobrir é a probabilidade de um cliente ter que esperar mais de 12 minutos para ser atendido. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente, como chegadas de clientes. A distribuição exponencial tem um parâmetro chamado λ (lambda), que é a taxa de ocorrências por unidade de tempo. A média dessa distribuição é dada por:
Como a média do tempo de espera é de 6 minutos, podemos encontrar λ:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a probabilidade de que o tempo de espera X seja maior que 12 minutos, ou seja,
. Para a distribuição exponencial, a probabilidade de X ser maior que um certo valor t é dada pela função de sobrevivência:
Passo 4
Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Sabemos que λ é
e t é 12 minutos:
Agora, calculando
:
Resposta
A probabilidade de um cliente ter que esperar mais de 12 minutos para ser atendido é de aproximadamente 13,53%.