O número de chegadas a um posto de informações turísticas é modelado por Poisson com taxa de 2 pessoas por hora. Para uma hora qualquer,
(a) qual é a probabilidade de pelo menos uma chamada?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá falando. A pergunta diz que o número de chegadas a um posto de informações turísticas segue um processo de Poisson com uma taxa de pessoas por hora. Ou seja, em média, chegam 2 pessoas por hora nesse posto. A gente quer descobrir qual a probabilidade de receber pelo menos uma chamada em uma hora qualquer.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo de tempo fixo, quando esses eventos ocorrem de forma independente e a uma taxa média constante.
A fórmula para a probabilidade de ocorrer exatamente P(X = k) = lambda^k e^-lambdak! eventos em um intervalo é:
Onde:
  • é a taxa média de ocorrências (no caso, 2 pessoas por hora).
  • é o número de ocorrências que queremos calcular a probabilidade.
  • é a base do logaritmo natural (~2,71828).

Passo 3

A questão pede a probabilidade de ocorrer pelo menos uma chamada em uma hora. Em termos matemáticos, isso é P(X >= 1) = 1 - P(X = 0) .
Uma maneira fácil de calcular isso é usar o complemento. Ou seja:
Então, primeiro vamos calcular , que é a probabilidade de não receber nenhuma chamada em uma hora.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Poisson para P(X = 0) = 2^0 e^-20! = 1 cdot e^-21 = e^-2 :
P(X >= 1) = 1 - e^-2
Agora, substituindo na expressão do complemento:

Passo 5

Vamos calcular o valor numérico de e^-2 approx 0,1353 :
P(X >= 1) = 1 - 0,1353 = 0,8647
Assim, a probabilidade de pelo menos uma chamada é:

Resposta

A probabilidade de receber pelo menos uma chamada em uma hora é aproximadamente 86,47%.

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