Seja X uma variável aleatória, X sim Poisson(5),
a) qual é a função geradora de momentos da variável X ?

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma variável aleatória que segue a distribuição de Poisson com parâmetro . Nosso objetivo aqui é encontrar a função geradora de momentos (FGM) dessa variável. Para isso, vamos precisar entender o que é a FGM e qual a fórmula dela para a distribuição de Poisson.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função geradora de momentos. A FGM de uma variável aleatória MX(t) = E[e^tX] é uma função que nos ajuda a encontrar todos os momentos (como a média, a variância, etc.) dessa variável. A definição matemática da FGM é:
onde representa o valor esperado e é uma variável real.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à distribuição de Poisson. Para uma variável aleatória MX(t) = exp(lambda (e^t - 1)) que segue uma distribuição de Poisson com parâmetro , a função geradora de momentos tem uma forma específica. A fórmula é:
Essa fórmula vem das propriedades da distribuição de Poisson e como os momentos são gerados a partir dela.

Passo 4

Como no nosso caso MX(t) = exp(5 (e^t - 1)) , substituímos esse valor na fórmula que encontramos:
Isso nos dá a função geradora de momentos específica para a nossa variável .

Resposta

A função geradora de momentos da variável MX(t) = exp(5 (e^t - 1)) é:

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