Seja
uma variável aleatória,
,
a) qual é a função geradora de momentos da variável
?
a) qual é a função geradora de momentos da variável
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma variável aleatória
que segue a distribuição de Poisson com parâmetro
. Nosso objetivo aqui é encontrar a função geradora de momentos (FGM) dessa variável. Para isso, vamos precisar entender o que é a FGM e qual a fórmula dela para a distribuição de Poisson.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função geradora de momentos. A FGM de uma variável aleatória
é uma função que nos ajuda a encontrar todos os momentos (como a média, a variância, etc.) dessa variável. A definição matemática da FGM é:
onde
representa o valor esperado e
é uma variável real.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à distribuição de Poisson. Para uma variável aleatória
que segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
, a função geradora de momentos tem uma forma específica. A fórmula é:
Essa fórmula vem das propriedades da distribuição de Poisson e como os momentos são gerados a partir dela.
Passo 4
Como no nosso caso
, substituímos esse valor na fórmula que encontramos:
Isso nos dá a função geradora de momentos específica para a nossa variável
.
Resposta
A função geradora de momentos da variável
é: