Suponha que uma moeda seja lançada repetidamente até que r=3 caras apareçam. Se a probabilidade de obter cara em cada lançamento é p=0,5, então a distribuição do número de coroas X antes de obter 3 caras segue uma distribuição de Pascal com r=3 e p=0,5.
(a) Calcular E(X).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma moeda que, ao jogar repetidamente, queremos saber quantas vezes ela dá coroa antes de conseguir 3 caras. Isso envolve a Distribuição de Pascal (também conhecida como distribuição binomial negativa). A gente vai precisar entender o que é distribuição de Pascal e como calcular a esperança matemática .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na distribuição de Pascal, a gente está contando quantas tentativas (neste caso, quantas coroas) acontecem até atingir um certo número de sucessos (neste caso, 3 caras). Os parâmetros são (número de caras que queremos) e (probabilidade de dar cara em cada lançamento).

Passo 3

A esperança matemática E(X) = r(1 - p)p da distribuição de Pascal é dada pela fórmula:
Aqui, é o número de sucessos que queremos, é a probabilidade de sucesso em cada tentativa, e é a probabilidade de fracasso.

Passo 4

Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Sabemos que E(X) = 3 times (1 - 0,5)0,5 e . Então:

Passo 5

Simplificando a conta:
1 - 0,5 = 0,5
Então:
E(X) = 3 times 0,50,5 = 1,50,5 = 3

Resposta

A esperança matemática é igual a 3.

Exercícios relacionados