Suponha que uma moeda seja lançada repetidamente até que
caras apareçam. Se a probabilidade de obter cara em cada lançamento é
, então a distribuição do número de coroas
antes de obter 3 caras segue uma distribuição de Pascal com
e
.
(a) Calcular
.
(a) Calcular
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma moeda que, ao jogar repetidamente, queremos saber quantas vezes ela dá coroa antes de conseguir 3 caras. Isso envolve a Distribuição de Pascal (também conhecida como distribuição binomial negativa). A gente vai precisar entender o que é distribuição de Pascal e como calcular a esperança matemática
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na distribuição de Pascal, a gente está contando quantas tentativas (neste caso, quantas coroas) acontecem até atingir um certo número de sucessos (neste caso, 3 caras). Os parâmetros são
(número de caras que queremos) e
(probabilidade de dar cara em cada lançamento).
Passo 3
A esperança matemática
da distribuição de Pascal é dada pela fórmula:
Aqui,
é o número de sucessos que queremos,
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa, e
é a probabilidade de fracasso.
Passo 4
Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Sabemos que
e
. Então:
Passo 5
Simplificando a conta:
Então:
Resposta
A esperança matemática
é igual a 3.