A taxa de imunização de uma vacina é 80 %. Se um grupo de 20 pessoas foram vacinadas, desejamos saber o comportamento probabilístico do número de pessoas imunizadas desse grupo. Seja X a variável de interesse.
(a) Qual é a probabilidade de 15 pessoas estarem imunizadas?

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que o enunciado tá pedindo. A gente tem uma vacina com taxa de imunização de 80%, ou seja, cada pessoa tem 80% de chance de ficar imunizada após a vacinação. Temos um grupo de 20 pessoas vacinadas, e queremos descobrir a probabilidade de exatamente 15 delas ficarem imunizadas. Pra isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis saídas (sucesso ou fracasso).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da Distribuição Binomial. A probabilidade de exatamente k sucessos em n tentativas é dada por:
P(X = k) = binomnk p^k (1 - p)^n - k
Onde:
  • binomnk é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
  • p é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • (1 - p) é a probabilidade de fracasso em uma única tentativa.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente binomial binom2015. Isso representa o número de maneiras de escolher 15 pessoas imunizadas entre 20.
binom2015 = 20!15! cdot (20 - 15)! = 20!15! cdot 5!
Calculando isso:
binom2015 = 15504

Passo 4

Agora, calculamos p^15 e (1 - p)^5.
Como p = 0,8,
p^15 = 0,8^15 approx 0,0352
E,
(1 - p)^5 = 0,2^5 = 0,00032

Passo 5

Finalmente, multiplicamos todos os componentes para encontrar a probabilidade:
P(X = 15) = 15504 times 0,0352 times 0,00032
Calculando isso:
P(X = 15) approx 15504 times 0,0352 times 0,00032 approx 0,175

Resposta

A probabilidade de exatamente 15 pessoas estarem imunizadas é aproximadamente 17,5%.

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