A taxa de imunização de uma vacina é . Se um grupo de 20 pessoas foram vacinadas, desejamos saber o comportamento probabilístico do número de pessoas imunizadas desse grupo. Seja a variável de interesse.
(a) Qual é a probabilidade de 15 pessoas estarem imunizadas?

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que o enunciado tá pedindo. A gente tem uma vacina com taxa de imunização de , ou seja, cada pessoa tem 80% de chance de ficar imunizada após a vacinação. Temos um grupo de 20 pessoas vacinadas, e queremos descobrir a probabilidade de exatamente 15 delas ficarem imunizadas. Pra isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis saídas (sucesso ou fracasso).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da Distribuição Binomial. A probabilidade de exatamente sucessos em tentativas é dada por:
Onde:
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher sucessos em tentativas.
  • é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • é a probabilidade de fracasso em uma única tentativa.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente binomial . Isso representa o número de maneiras de escolher 15 pessoas imunizadas entre 20.
Calculando isso:

Passo 4

Agora, calculamos e .
Como ,
E,

Passo 5

Finalmente, multiplicamos todos os componentes para encontrar a probabilidade:
Calculando isso:

Resposta

A probabilidade de exatamente 15 pessoas estarem imunizadas é aproximadamente .

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