O número de defeitos em uma chapa metálica segue uma distribuição de Poisson com média de 2 defeitos por m^2 de chapa.
Determine a probabilidade de se encontrar no máximo 1 defeito em uma chapa de 3 m^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o número de defeitos em uma chapa metálica que segue uma distribuição de Poisson, com uma média de 2 defeitos por metro quadrado. Nosso objetivo é descobrir qual é a probabilidade de encontrar, no máximo, 1 defeito em uma chapa de 3 metros quadrados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a média de 2 defeitos por metro quadrado. Isso quer dizer que, estatisticamente, espera-se encontrar 2 defeitos em cada metro quadrado da chapa. Como nossa chapa tem 3 metros quadrados, precisamos ajustar essa média para toda a área.

Passo 3

Para encontrar a média total ( lambda = 2 , defeitos/m^2 times 3 , m^2 = 6 , defeitos ) para os 3 metros quadrados, multiplicamos a média por metro quadrado pelo total de metros quadrados:
Então, .

Passo 4

A distribuição de Poisson nos dá a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo fixo. A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(k; lambda) = e^-lambda lambda^kk!
onde:
  • é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos,
  • é a média de eventos,
  • é a base dos logaritmos naturais,
  • é o fatorial de .

Passo 5

Queremos a probabilidade de encontrar no máximo 1 defeito, ou seja, ou . Então, vamos calcular e usando a fórmula acima.

Passo 6

Calculando P(0; 6) = e^-6 times 6^00! = e^-6 times 11 = e^-6 :
Aproximadamente, .

Passo 7

Calculando P(1; 6) = e^-6 times 6^11! = e^-6 times 61 = 6e^-6 :
Aproximadamente, .

Passo 8

Agora, somamos as probabilidades de P(máx 1) = P(0) + P(1) approx 0,002478752 + 0,014872512 = 0,017351264 e para encontrar a probabilidade de no máximo 1 defeito:
á

Resposta

A probabilidade de encontrar no máximo 1 defeito em uma chapa de 3 metros quadrados é aproximadamente , ou 1,735%.

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