Suponha que tenha sido coletada uma segunda amostra de 10 elementos com desvio padrão igual a 10,5 kg. Construa um intervalo de 90 % de confiança para o desvio padrão da população, considerando as duas amostras.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma segunda amostra de 10 elementos que têm um desvio padrão de 10,5 kg. A gente precisa construir um intervalo de confiança de 90% para o desvio padrão da população, considerando as duas amostras.
Conteúdo da matéria: Vamos usar Estatística Inferencial, mais especificamente, a distribuição qui-quadrado ( chi^2) para construir o intervalo de confiança do desvio padrão.
O que vamos precisar:
  • Tamanho da amostra ( n = 10)
  • Desvio padrão da amostra ( s = 10,5 kg)
  • Nível de confiança ( 90%)
  • Tabela da distribuição qui-quadrado

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que para construir um intervalo de confiança para o desvio padrão da população, usamos a distribuição qui-quadrado. A fórmula para o intervalo de confiança do desvio padrão ( sigma) é:
Aqui:
  • raiz(n-1)s^2chi^2alpha/2 <= sigma <= raiz(n-1)s^2chi^21-alpha/2 é o tamanho da amostra
  • n é o desvio padrão da amostra
  • s e chi^2alpha/2 são os valores críticos da distribuição qui-quadrado para os níveis de significância chi^21-alpha/2 e alpha/2, respectivamente

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • n = 10
  • s = 10,5 kg
  • Nível de confiança = 90%, então alpha = 1 - 0,90 = 0,10
Como estamos lidando com um intervalo de confiança, vamos dividir alpha por 2:
  • alpha/2 = 0,05

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores críticos da distribuição qui-quadrado para chi^20,05 e chi^20,95 com df = n - 1 = 9 graus de liberdade.
Consultando a tabela qui-quadrado:
  • chi^20,05 approx 16,919
  • chi^20,95 approx 3,325

Passo 5

Vamos aplicar os valores na fórmula do intervalo de confiança:
raiz(10-1)(10,5)^216,919 <= sigma <= raiz(10-1)(10,5)^23,325
Calculando os números dentro das raízes:
Primeiro, calculamos (n-1)s^2 = 9 times (10,5)^2 = 9 times 110,25 = 992,25
Então:
raiz992,2516,919 <= sigma <= raiz992,253,325

Passo 6

Agora, vamos fazer as divisões:
Para o limite inferior:
992,2516,919 approx 58,60
Para o limite superior:
992,253,325 approx 298,35

Passo 7

Por fim, tiramos a raiz quadrada desses resultados para encontrar o intervalo de confiança para sigma:
Limite inferior:
sigma >= raiz58,60 approx 7,66 kg
Limite superior:
sigma <= raiz298,35 approx 17,28 kg

Resposta

O intervalo de confiança de 90% para o desvio padrão da população é aproximadamente entre 7,66 kg e 17,28 kg.

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