O número de divisores inteiros e positivos do número 2018² - 2017² é

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é sobre encontrar o número de divisores inteiros e positivos de 2018^2 - 2017^2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de aritmética, mais especificamente, diferença de quadrados e fatoração de números para descobrir quantos divisores um número possui.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão 2018^2 - 2017^2. A diferença de quadrados é uma identidade matemática que pode ser fatorada assim:
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
Aplicando isso aqui:
2018^2 - 2017^2 = (2018 - 2017)(2018 + 2017) = 1 times 4035 = 4035
Então, precisamos achar o número de divisores de 4035.

Passo 3

Para descobrir quantos divisores um número tem, primeiro precisamos fazer a fatoração prima desse número. Isso significa quebrar o número em seus fatores primos.
Vamos fatorar 4035:
  1. Divisível por 5? Sim, porque termina em 5.
4035 div 5 = 807
  1. Agora, fatoramos 807. Divisível por 3? Sim, porque a soma dos dígitos 8 + 0 + 7 = 15 é divisível por 3.
807 div 3 = 269
  1. Restou 269. Precisamos verificar se 269 é primo. Testando divisores até a raiz quadrada de 269 (que é aproximadamente 16,4), vemos que 269 não é divisível por nenhum número primo menor que 17, então 269 é um número primo.
Portanto, a fatoração prima de 4035 é:
4035 = 3 times 5 times 269

Passo 4

Agora que temos a fatoração prima, podemos usar a seguinte regra para encontrar o número de divisores:
Se a fatoração de um número N é:
N = p1^a times p2^b times p3^c times dots
Então, o número de divisores de N é:
(a + 1) times (b + 1) times (c + 1) times dots
No nosso caso, a fatoração é:
4035 = 3^1 times 5^1 times 269^1
Então, os expoentes são todos 1.

Passo 5

Aplicando a regra dos divisores:
(1 + 1) times (1 + 1) times (1 + 1) = 2 times 2 times 2 = 8
Portanto, 4035 tem 8 divisores inteiros e positivos.

Resposta

O número de divisores inteiros e positivos de 2018^2 - 2017^2 é 8.

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