Obtenha a distribuição de p quando p=0,2 e n=5. Depois calcule E(p) e Var(p).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar a distribuição de quando e . Depois, a gente precisa calcular o valor esperado e a variância . Vamos usar conceitos de distribuição binomial e propriedades do valor esperado e da variância.

Passo 2

Primeiro, sabemos que é a proporção de sucessos em uma amostra, ou seja, , onde segue uma distribuição binomial com parâmetros e . No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos listar todas as possíveis proporções . Como pode variar de 0 a 5, pode ser 0, 0,2, 0,4, 0,6, 0,8 ou 1,0.

Passo 4

Agora, calculamos a probabilidade de cada P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k . Usamos a fórmula da distribuição binomial:
P(p = k5) = binom5k (0,2)^k (0,8)^5-k
Para cada de 0 a 5:

Passo 5

Vamos calcular cada probabilidade:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora que temos a distribuição de E(p) = p , vamos calcular o valor esperado Var(p) = p(1-p)n e a variância E(p) = 0,2 . Sabemos que:
Var(p) = 0,2 times 0,85 = 0,165 = 0,032
Substituindo os valores:

Resposta

A distribuição de c|c p & P(p) hline 0,0 & 0,32768 0,2 & 0,4096 0,4 & 0,2048 0,6 & 0,0512 0,8 & 0,0064 1,0 & 0,00032 quando E(p) = 0,2 e Var(p) = 0,032 é:
Além disso, temos:

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