Obtenha a distribuição de
quando
e
. Depois calcule
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar a distribuição de
quando
e
. Depois, a gente precisa calcular o valor esperado
e a variância
. Vamos usar conceitos de distribuição binomial e propriedades do valor esperado e da variância.
Passo 2
Primeiro, sabemos que
é a proporção de sucessos em uma amostra, ou seja,
, onde
segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos listar todas as possíveis proporções
. Como
pode variar de 0 a 5,
pode ser 0, 0,2, 0,4, 0,6, 0,8 ou 1,0.
Passo 4
Agora, calculamos a probabilidade de cada
. Usamos a fórmula da distribuição binomial:
Para cada
de 0 a 5:
Passo 5
Vamos calcular cada probabilidade:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Passo 6
Agora que temos a distribuição de
, vamos calcular o valor esperado
e a variância
. Sabemos que:
Substituindo os valores:
Resposta
A distribuição de
quando
e
é:
Além disso, temos: